[敬请读者注意] 本人保留本文的全部著作权利。如果哪位读者使用本文所描述内容，请务必如实引用并明白注明本文出处。如果本人发现任何人擅自使用本文任何部分内容而不明白注明出处，恕本人在网上广泛公布侵权者姓名。敬请各位读者注意，谢谢！

哥德尔不完全性定理的内容和有效范围 (4) 随感

程京德

笔者此次对哥德尔不完全性定理做科普工作，恰逢要为一个讲座（相关逻辑与人工智能）准备讲课材料之时，做科普的思考与做研究的思考交融，真是一件很有趣的事，本文将陆续记录一些笔者的随感。

为什么是哥德尔？哥德尔伟大在哪里？  

作为卓越的数理逻辑学家，由于一阶谓词演算完全性定理（1930年，24岁）、PM及相关形式系统不完全性定理（1931年，25岁）、原始和一般递归函数（1931年，25岁；1934年，28岁）等等的出色工作，哥德尔是已经被世人神化了的人物。但是，为什么是哥德尔而不是别人在短时期内做出了这些重要工作？说哥德尔是个天才，那么他比起同时代的数理逻辑学家来说，天才在哪些地方？哥德尔的工作究竟伟大在哪里？

我国著名的数理逻辑学家，相关逻辑的创始者之一的莫绍揆教授，在对王浩所著“Reflections on Kurt Godel”之中译本“哥德尔”所做简评中说到：“哥德尔尽管成就巨大，但他的思想和见解都是通常的思想和见解，在思想上他并没有独创出什么有特殊内容的“哥德尔思想”。……哥德尔没有推翻任何传统规律，他所推翻的只是一些人的猜测或建议，例如希尔伯特纲领等等。”

现代集合论的创始人康托(G.F.L.P. Cantor)在1867年就曾经说过，“In mathematics the art of proposing a question must be held of higher value than solving it.”

爱因斯坦在1938年也说过，“The formulation of a problem is often more essential than its solution, which may be merely a matter of mathematical or experimental skill. To raise new questions, new possibilities, to regard old problems from a new angle, requires creative imagination and marks real advance in science.”

必须说明的是，哥德尔不完全性定理虽然是一个否定性结果，但是这并不是哥德尔的初衷，哥德尔的工作出发点原本是想按照希尔伯特方案证明数学分析的一致性，亦即，其初衷是要得到一个肯定性结果。那么，当时有那么多优秀的数理逻辑学家在这个方向上努力，有些（比如像希尔伯特的高足阿克曼、冯诺依曼等）已经得到了部分很好结果，看似就要接近成功（得到一个肯定性结果），为什么是年轻的哥德尔最后得到了这个否定性结果呢？他比起同时代的数理逻辑学家来说，天才在什么地方？事实上，正是哥德尔不拘泥于希尔伯特学派的纯粹形式主义，对数学保持着“童心”的客观主义态度，才引导他走向最终的成功（获得一个否定性结果，不完全性定理）。正如哥德尔自己对王浩所说，“如果一个人认为，由无意义的符号所组成的数学，只有通过元数学才能获得某种意义的话，他如何能想到把元数学表示在数学系统本身之中？”  实际上，获得不完全性定理并非哥德尔的第一次“童心”客观主义态度的成功，在证明一阶谓词演算完全性定理时，他不拘泥于有穷观点地使用了古典排中律和Konig无穷引理，获得了Skolem数年前就几乎得到却因拘泥于有穷观点而未认识到的结果。

我们可以说，哥德尔的确解决了很重要的数理逻辑问题，但是，这些重要问题本身却不是他提出来的。就哥德尔不完全性定理来说，哥德尔的伟大之处，就在于他独创性地发现和发明了严谨地（元数学的基础性所要求）、严格地（数理逻辑的逻辑性所要求）表达所要解决问题的恰当合适方法，使得该问题在此表达之下可以得到确切结论。今天，在形式化方法已经获得长足的进步，在计算机高速计算能力已经远远超越我们人类计算能力的时代，如何对现实世界保持客观主义态度，将现实问题以恰当合适的方式表达清晰表达正确，难道不是最高的人类智能吗？

为什么说哥德尔不完全性定理“并非是一个可以用来指导有关逻辑学和数学（甚至人工智能）之一切的、放之四海而皆准的绝对真理”？

实际上，哥德尔不完全性定理所严格限定的有效范围是很窄的，远不像许多误解随意解释的那么宽。首先，因为该定理是关于形式系统的，所以凡是还未形式化的任何问题，无论它是关于逻辑学的、数学的、或者人工智能的，从逻辑观点上来说都与该定理无关。其次，正因为该定理是关于形式系统的，形式系统的本质要求之一就是有穷观点，所以不能够满足有穷观点的任何问题，无论它是关于逻辑学的、数学的、或者人工智能的，都无法直接利用该定理的结论来断定什么。再次，因为该定理所考察的对象是基于经典数理逻辑形式化的系统，至少从逻辑观点来说，并不能直接将该定理的结论应用于基于非经典逻辑的形式系统。

读者从笔者这里的说明应该可以明白，最近社会上的一种奇怪现象，主张人工智能将会超越人类智能的一方和主张人工智能不会超越人类智能的一方当中都有人使用哥德尔不完全性定理来作为支持自己主张的理论根据，是多么的可笑了。我们可以毫不夸张地说，像人工智能能否超越人类智能这样的问题，真是与哥德尔不完全性定理“差之千里”！

关于哥德尔不完全性定理为什么会有如此之多的误解和歪曲？

对此问题，用最简单的话来概括笔者的感觉就是，概念才是基础！知识才是力量！逻辑才是规矩！

首先，哥氏定理涉及到许多经典数理逻辑和数学基础论（元数学）中的基本概念，这些基本概念都有其严格的定义。不少误解者和歪曲者正是由于没有正确理解（或者根本不知道）这些基本概念而在偏离了它们原始定义的意义下去理解哥氏定理，当然就会误解和歪曲了。其次，任何数学结论都有其历史背景和发展过程，哥氏定理当然也不例外。没有真正经过数理逻辑训练的或者认真学习过数学基础论的人，缺少必要的知识，当然不会清楚哥德尔工作的历史背景和原始出发点，所以才会随意对哥氏定理做扩大解释。最后，哥氏定理本质上是关于基于经典数理逻辑的形式系统的元定理，在其前提和结论之间当然有其内在的逻辑结构，而这样的逻辑结构在哥氏定理的通俗自然语言描述中被隐含起来了。缺少一般逻辑训练的误解者和歪曲者，如果仅从哥氏定理通俗自然语言描述的字面上去理解，忽视（或者根本不理解）哥氏定理原本内含的逻辑结构，当然就造成许多误解和歪曲了。

（2017年5月27日完成）