集合论的基本思想是建构性的而不是定义性的。换句话说，它的基本概念不是通过命题的方式以旧概念+新属性的方法得到，而是通过一套程式步骤创建而来：不要告诉我它是什么，告诉我你是如何构建它的。说得再通俗一点，你不会得到蛋糕，但会得到做蛋糕的菜谱。有了这个基本思想，你对集合论就有了最宏观的把握。按照书作者Holmas的说法，集合论的所有公理除了外延公理之外都是在告诉你如何构建新集合。其中最重要的就是我们这次要讨论的分类公理——the axiom of specification。

严格地说，“分类公理”并不是一个十分准确的翻译，有人把它译成“分离公理模式”，还有人译成“子集公理”，但这些翻译都有缺陷。specification的原意是，对某一个思想、问题的解决方案等详细、有条理地阐述，形成规定和条文，或者精确确定某一概念以示和其它类似概念的区别，亦即将概念𝑨从类似的一群概念𝑨1,𝑨2,𝑨3,…中区分出来。

集合论公理的本质，如上所述就是确定某一特定集合的构建方法，这个方法是这样的，假设有一个现存的集合，这个集合也许是根据某个集合公理构建出来的，也许是最原始的“本源”集合，然后，以这个集合为基础构建新的集合。不过这只是对集合构建的技术性描述。如何理解这个描述背后的思想才是我们的主要话题。这个思想的哲学意义就是：什么是存在。

分类公理——尽管翻译不太准确，但比起其它翻译来说保留的原文含义更多一些，故权且如此称呼——的基本思想就是：让我们设定一个“范围”，这个“范围”是我们所讨论的问题的最大边界，我们谈论的所有对象、过程、行为都在这个“范围”之中，对此我们可以用一个已经建构的集合表示，称作“泛集”（universal set）。在这个集合中，聚集着复数个不具名个体。而分类公理就是将这些个体根据其性质划分成新的集合——在这泛集之下的子集。这里举个例子。大学新生报到。对于校方管理人员来说，这些新来的学生就是一个不具名个体的集合——泛集。现在管理人员想根据学生的专业分班，于是说，数学系的学生请到一号教室，物理系的学生请到二号教室，化学系的请到三号教室，… 如此这般，我们就得到了这些不具名个体的𝒏个新集合——这些新集合是按照一定的条件构建的——所报考的专业。这样我们就有了𝒏+1个集合，一个泛集——所有新生，和n个按专业得到的新集合。

我们是怎样得到这些新集合的呢？是条件的确定：𝒙是数学系的，或者，𝒙是物理系的，或者，𝒙是化学系的，或者，𝒙是𝐗𝐗系的。换句话说，我们是根据这些主语未定的句子来确定条件的。这些主语未定的句子，比较专业的表述就是，命题函数，或者，命题函项，总之，其基本概念就是一个函数。整个句子的命题是否为真取决于x的值——在泛集中所对应的个体是谁。这命题函数，在逻辑学中称作句子公式(formula)，意思是，命题待确定真值的句子；相对于“公式”，句子的意思就是其命题真值可以确定。

总之，对于一个给定集合——泛集，我们可以根据其性质确定任意多个子集，而确定其性质的手段就是用一个命题函数来确定这个子集的边界。如果所要确定的性质数量大于一，则句子的形态就是复合句，由若干单句加上逻辑连接符：或者、并且、如果…则、并非等构成。例如我们上例中的性质就是𝒏个，因此对子集的条件就是一个由“或者”连接的一个复句。
如果把上述的语言内容用符号表示的话就是：
设𝑨是一个给定的泛集，我们用 𝒙 ∊ 𝑨 表示𝑨集中有非零个元素作为不具名个体；然后我们用𝑴、𝑷、𝑪等大写字母分别表示“是数学系”、“是物理系”、“是化学系”等，则可以用一个形式化的句子𝑴(𝒙)、𝑷(𝒙)、𝑪(𝒙)分别表示泛集中的不具名个体的性质；最后，我们就可以在这个泛集内构建𝒏个子集：
{𝒙 ∊ 𝑨 ：𝑴(𝒙)或者𝑷(𝒙)或者𝑪(𝒙)}

这个分类公理有什么哲学认知意义呢？这其实就是我们对概念层次划分的集合论式的描述。我们通常对概念的界定是模糊的、隐含的，尽在不言之中的，而明确地说出来还要说清楚只有集合论可以办到。例如，颜色是我们对自然界某一性质的认知，所以可以把“颜色”看做是一个泛集。在这个泛集下，我们可以利用命题函数确定具体的“赤橙黄绿青蓝紫”，确定新的子集。所以当我们说红色是一种颜色的时候，实际上用集合论的语言就是
{𝒙 ∊ 颜色：红色(𝒙)}
看到没有，集合永远是在谈论它的元素，颜色也好、红色也罢，其基础都是集合中的元素，而这正是我们上回所谈到的外延公理。

是的，分类公理的实质就是对我们概念分类的一种精确描述，而它的数学语言——确切地说、集合论式的语言就不是那么直截了当了：
分类公理（the axiom of specification）：
对于任意一个集合𝑨和对于任意一个条件𝑺(𝒙)，都存在一个对应的集合B，其元素是且仅是𝑨中的元素，且都使𝑺(𝒙)的命题为真。
这个公理的符号表述就是：
𝑩 = {𝒙 ∊ 𝑨 ：𝑺(𝒙)}
在这个陈述中（无论是我们用自然语言的陈述还是集合论语言的陈述），我们对𝑺是什么并没有任何限制，也就是说，𝑺可以表示任何性质。

说到这里，故事好像应当讲完了。但是，且慢！在我们上述陈述中，许多东西并未说清楚；例如，泛集中元素我们只说是不具名的个体，但是什么是不具名的个体？集合本身能不能成为“不具名的个体”？换句话说，一个集合能否成为另外一个集合的元素？对于这个问题，相信大多数人都知道答案但从未深究过。当一个集合成为另外一个集合的元素时会是什么情况，容我们下次详说，这里只说“当然可以”。但是一旦集合可以成为其它集合的元素，问题就复杂多了，可以说，现代集合论的所有问题都是由此而产生的。最著名的当然就是集合中的悖论问题。什么是悖论？这里没有余力系统讨论悖论问题，只是拿我们刚刚讨论过的“分类公理”“例示”一下悖论的概念。假定命题函数S(𝒙)代表一个句子：𝒙不是𝒙自己的元素，写成符号便是：𝒙 ∉ 𝒙，或者 “并非(𝒙 ∊ 𝒙)”。根据我们的分类公理：
如果 𝑩 = {𝒙 ∊ 𝑨: 𝒙 ∉ 𝒙}，那么，给定B中任何一个元素y，都会有
(1) 𝒚 ∈ 𝑩 当且当{𝒚 ∊ 𝑨: 𝒚 ∉ 𝒚}
这个公式告诉我们，在A这个泛集中，存在本身是集合的元素，而且这些集合所含的元素并不包含自身，这些不包含自身的元素集合形成泛集中的一个子集——𝑩，也就是说，B中任何一个元素都属于𝑨，且具有自己不是自己的元素这一性质。那么问题来了，𝑩本身是A的一个元素吗？如果是，那么就有两种可能：𝑩 ∈ 𝑩，或𝑩 ∉ 𝑩。如果是前者，那么根据公式(1), 𝑩 ∉ 𝑩；如果是后者，则还是根据(1)我们会得到𝑩 ∈ 𝑩的结论。总之，两个句子的命题真值相反，但是当用两句任何之一作为分类描述时总会得到与之相反的结果，这个就是悖论的一种形式——二律背反（antinomy）。
对于种情况，我们也许会说，这个问题的前提就是错误的，因为根本就不存在这样的泛集。但是我们确确实实定义了集合A，如果认为𝑨不存在，是否认为无可以包含有呢？
进一步我们会问：什么是存在？什么是不存在？不存在是不是也是存在的一种方式呢？在中国的传统的释家和道家学说中，“空”和“无”的概念上升到哲学的高度。这个问题，我们会在下一篇——关于“空集”的讨论中进一步阐述，这里我们只能说，集合的所有问题都和哲学问题有关，而一旦集合的元素不再是不可分割的原子性元素而是其它集合，那么根据某一给定的集合构建新集合，就会出现悖论的问题。可以说，全部集合论的发展史、集合论所要解决的问题都和悖论问题有关。而悖论问题，其实就是矛与盾的问题，也就是我们耳熟能详的那则古代寓言：
楚人有鬻盾与矛者，誉之曰：“吾盾之坚，物莫能陷之。”以誉其矛曰：“吾矛之利，于物无不陷也。”或曰：“以子之矛陷子之盾，何如？”其人弗能应也。夫不可陷之盾与无不陷之矛，不可同世而立。
集合论中的悖论和这则矛盾寓言的区别就是：前者是自指(self-reference)所产生的矛盾，后者是互指(co-reference)，或者叫做“镜像指称”。如果你懂计算机编程，就知道函数的递归必须要设定回退条件，否则则是一个死循环直到资源耗尽，但是矛与盾的故事如果用程序语言，则是指两个函数无条件互相调用，其结果和自我递归是一样的。如果不懂编程，可参考我的《闲聊语义学》，其中指出的循环定义问题。但是这些不是重点，重点是分类公理——它是我们概念层次分类的一种精确化描述，集合论式的描述。这个描述和我们如何定义形式语言有很大关系，悖论的产生，与其说是集合论本身的问题，不如说是描述问题的语言的定义问题。
和集合论其它大多数公理一样，分类公理的作用是阐述了如何从给定集合构建新集合的方法。