1879年E.H. 霍尔发现霍尔效应。当电流通过一个位于磁场中的导体的时候，磁场会对导体中的载流子产生一个垂直于电子运动方向上的作用力，从而在导体的两端产生电压差。在导体上外加与电流方向垂直的磁场，会使得导线中的载流子（带负电的电子与带正电的空穴）受到不同方向的洛伦兹力而使轨迹发生偏移而往不同方向上聚集，在材料两侧产生积累起来的电荷（电子与空穴）之间会产生垂直于电流方向的电场，最终使载流子受到的洛仑兹力与电场斥力相平衡，从而在两侧建立起一个稳定的电势差即霍尔电压。简单地讲，霍尔效应就是，在x方向存在电流和z方向存在外磁场的情况，在y方向产生横向电流。正交电场和电流强度与磁场强度的乘积之比就是霍尔系数。平行电场和电流强度之比就是我们通常测量的电阻率。

图1  霍尔效应测量图示

量子霍尔效应：是在极低温和强磁场下发生的霍尔效应。有N种量子霍尔效应。量子霍尔效应是在束缚于半导体-绝缘体或两个半导体界面间二维电子系统中极低温和强磁场下发现的。二维电子系统的垂直运动被高势垒束缚而量子化，沿垂直方向上加的外磁场又进一步使电子在平面内的运动量子化。在y方向的电流（电导）是量子化的，可以通过Laudau规范理论进行定量分析。在二维体系中，边缘出现的霍尔电导将是由块体拓扑保护的，通过Chern数或绕数分析可以得到以e²/h为单位的量子霍尔电导。最为人知的（或者说最早的）有两种：一种是整数量子霍尔效应，另一种是分数量子霍尔效应。整数量子霍尔效应最初在高磁场下的二维电子气中被观测到；分数量子霍尔效应通常在迁移率更高的二维电子气下才能被观测到

整数量子霍尔效应被马普所的德国物理学家冯·克利青(von Klitzing)等人发现，在极低温和强磁场下霍尔电导率出现量子化的平台。整数量子霍尔效应中观测到量子化电导e²/h,为弹道输运(ballistic transport)这一重要概念提供了实验支持他因此获得1985年诺贝尔物理学奖。在1980之前，所有在凝聚态体系的物质状态均可以用对称性破缺原理来描述。而量子霍尔效应是第一个不存在自发对称性破缺的量子态。其性质不取决于体系特定的几何，而是取决于它的拓扑。Laughlin提出一个整数量子霍尔效应的理论。参照超流的长程相位刚度，根据规范不变性，并考虑到朗道能级受无序的影响。电子绕Corbino盘圆周循环一次，通过其封闭轨道的磁通必然是量子化的。另外，为产生一个霍尔电流，在二维电子系统中量子霍尔效应普适性的关键因素是Aharonov-Bohm效应，这导致霍尔电导率作为从规范场向复波函数映射的拓扑不变量¾绕数的结果。这时薛定谔方程将包含矢势，但可以选择规范变换消去矢势，波函数也有相应的变换。当一个电子围绕盘一圈时将改变波函数，增加一个相因子。波函数的单值性对相因子有一定要求，从而有整个的磁通量子化条件。（由于不太熟悉科学网的公式编辑，故删去相关公式）。

图2 整数和分数量子霍尔效应

崔琦（Daniel Tsui）、施特默（Horst Stormer）和赫萨德（A. C. Gossard）发现分数量子霍尔效应，前两者因此与劳赫林（Robert Betts Laughlin）分享1998年诺贝尔物理学奖。在朗道能级填充因子为分数处霍尔电导率出现量子化的平台。分数量子霍尔效应通常在迁移率更高的二维电子气下才能被观测到，与电子的强关联密切相关。这时，电子已经凝聚到由高度关联产生的特殊稳定的新基态。Laughlin提出一种波函数来描述不可压缩量子液体中产生准电子和准空穴两类具有分数电荷的元激发。分数量子霍尔效应与超流态之间存在紧密的对应关系。具有分数电荷的准粒子需要任意子(anyon)分数统计规律。两次交换或n次交换任意子产生复数相因子，不存在拓扑上等价的零交换。这里出现的相因子又是与拓扑扭结密切相关的。Laughlin的工作揭示了涡旋(vortex)和准粒子(quasi-particle)在凝聚态物理学中的重要性。整数量子霍尔效应反映了单电子的行为，而分数量子霍尔效应是一种多体相互作用的行为。任意子在量子计算方面有广阔的应用前景。

参考文献：

冯端、金国钧，凝聚态物理学新论。上海科学技术出版社。

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下回预告：

物理世界的相因子-6-拓扑绝缘体