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激辩猜想-13-分维模型
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不知不觉，《激辩猜想》系列博文已经贴到-13，后面的还看不到头。无论如何，我自己感觉我的经历是非常罕见的。“激辩猜想”有平淡有意外有紧张有惊喜，道路非常崎岖曲折，过程非常惊险刺激。所以，我有将它写下来公开与大家分享体验的冲动。希望能给大家（特别是青年科技工作者）一些启示，特别是在科学研究的道路上如何探究未知，如何坚持真理，如何去伪存真，如何进行高水平的学术讨论和争鸣，。。。难得广大读者有耐心听我唠唠叨叨了一个多月，还没完没了。我也非常感谢科学网的编辑宽宏大量，对《激辩猜想》系列中非常枯燥的纯学术性的博文也一一做了推荐（我想，编辑一定是破例了，谢！）。激辩猜想这场论战可以说是非常惊心动魄，战况空前。不但有一些反面的评论、我的答复及对答复的反驳（反驳在科学史上也不常见到吆:=P），还有一些正面的评价意见和引用。不但回合多，而且出场的不乏四大天王和March这样的大师级人物（正反两边量级相当）！可以说是，小人物撬动了大问题，引来了大人物。高手过招如闪电惊鸿，来去无痕，令人目不暇接。现在，论战的范围已经远远超越了三维伊辛模型本身。论战的焦点已经从三维伊辛模型精确解的正确性、高低温展开的标准等具体的问题扩散到对统计物理的数学物理基础的质疑和挑战。这次论战的意义已经远远超出了我的预期和想象，本人目前尚未完全把握和理解其物理内涵。可能需要更多的科学家的加入讨论和研究才能吃透其物理意义。通过前几篇博文的介绍，大家已经了解了四大天王的反面意见和我的答复。也引发了许多博友开展相关的学术讨论。我非常高兴地看到，在科学网正在慢慢形成开展公开的平等的理性的学术讨论的氛围。为了真实地反映这次论战的情况，对等起见，我将Klein教授和March教授正面评价的论文全文翻译成中文，有翻译得词不达意的地方敬请广大读者批评指正。
我能与科学网结缘是我的幸运。在论文被国际刊物正式接受发表之前，我就有幸在科学网对猜想做了系列的介绍。我非常感谢赵彦主编的邀请和各位编辑的辛勤劳动！我非常感谢科学网这个平台, 具有非常大的包容性, 具有海纳百川的气度。我相信，通过更多的“激辩猜想”式的学术讨论, 使我国科技工作者形成“哥本哈根”式的学术气氛。在大家的共同努力下，建设一个追求“独立的人格，自由的学术，批判的精神” 的虚拟网络大学。从而促进我国的科学和教育事业的进步，那科学网将功德无量!
祝科学网越办越红火，兴旺发达，早日成为中国的“哥本哈根”!
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Physics Letters A 372 (2008) 5052–5053
伊辛模型在D维的临界指数，包含了张对三维的建议
D.J. Klein a, N.H. Marchb,c,*
aDepartment of Marine Science, TexasA&MUniversity at Galveston, Galveston, TX, USA
bDepartment of Physics, University of Antwerp, Antwerp, Belgium
c OxfordUniversity, Oxford, England, UK
张最近建议了维度D = 3的伊辛模型的临界指数。我们已经建立了一个临界指数δ(D)的D维结果，包含了三维张的值以及已知的D = 1, 2和4的值。标度关系进一步产生其它临界指数与D的函数关系。最后，处理了随机行走的临界指数。
*Corresponding author at: Department of Physics, University of Antwerp, Antwerp, Belgium. E-mail address: iris.howard@telenet.be (N.H. March).
在一个非常近的研究中，建立在两个还没有被证明的猜想基础上，张[1] 建议了三维伊辛模型的临界指数的封闭结果。这里，我们显示张的维度D = 3的临界指数δ可以被利用，和已知的D = 1, 2和4的值一起，建立一个临界等温指数δ(D)的形式。与已知的标度关系[2,3]相结合，可以得到另外两个临界指数作为δ(D) 的函数。这将是非常有兴趣的，如果将来一个分形模型能被理想地精确地但更现实地数值地求解，来测试，以及如果必要的话，去精细在这个快报中构建的δ(D)的形式。
有了这个简短的背景，我们首先强调，通过引用张的文章中的表1，那里收集的δ(1)和δ(4)的结果由一个简单的公式9/(D − 1)包含。所以，这个表达式将被细化，与Onsager的精确结果[4]δ(2) = 15和张的建议δ(3) = 13/3相吻合。用δ(D)的两参数形式，它也可以精确地产生δ(1)和δ(4)，我们应该写成：
(1)用上面引用的D = 2 和3的数值，从方程(1)可得：
(2)和
. (3)从方程(2)和(3)，为δ(D)建议的公式(1)可以通过插入f = 105和g = −306得到细化。下面回到标度假定，Stanley [2]在第185页表11.1给出标度关系：
α +2β +γ = 2, (4)
和
α + β(δ +1) = 2. (5)
再一次引用张的表1，对D = 2, 3和4我们有α = 0，因而从方程(5)：
. (6)再一次对D = 2, 3和4将α = 0插入方程(4)产生临界指数γ (D)为：
γ (D) = 2(1− β(D)). (7)
当用方程(6)中的β(D)时，方程(7)仅仅由方程(1)中的δ(D)决定γ (D)。然后对D = 2, 3和4又得到γ为7/4, 5/4和1的值。
在这一点上，我们感到有兴趣注意到与随机行走理论相关的不太常规的“临界”指数。这个指数在Flory [5,6]早期的开拓性工作中被考虑，也见de Gennes [7]对它的重新细化。如果我们考虑在一个D维晶格N跳的一个随机的自排除的行走，上面的临界指数，如ρ(D)，这里可以定义为：
R2(D) = constant ×(N2ρ(D)). (8)
然后，从Flory的解析结果，下面记为ρF (D)，考虑到聚合物化学[6]的概念，写成：
, D < 4, (9)它与D = 3的数值结果[7]符合得很好。这里非常有兴趣来比较Flory公式(9)和临界等温指数方程(1)右手边的首项。
结论，让我们反复强调将来的兴趣，可能是数值地研究一个适合的分形模型，来测试，以及如果证明必要的话，去精细方程(1)中δ(D)的形式。其次，今后在这个领域主要的兴趣是回到张对D = 3的建议，建立两个猜想的精细形式，如作者指出的那样，在[1]中建立的基本的统计力学整个地依赖于它们。
Acknowledgements
One of us (D.J.K.) wishes to acknowledge financial support from the Welch Foundation. The other (N.H.M.) wishes to thank Professors W. Seitz and D.J. Klein for generous hospitality during a visit to Texas A&M at Galveston. Finally, thanks are also due to Professors P.M. Echenique and A. Rubio for their support during a visit toDIPC, San Sebastian, where N.H.M.’s contribution to this study was brought to final fruition.
References
[1] Z.D. Zhang, Philos. Mag. 87 (2007) 5309.
[2] H.E. Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena, Clarendon
Press, Oxford, 1971.
[3] See also B.K. Agarwal, M. Eisner, Statistical Mechanics, Wiley Eastern Limited,
New Delhi, India, 1988.
[4] L. Onsager, Phys. Rev. 65 (1944) 117.
[5] P.J. Flory, J. Chem. Phys. 17 (1949) 303.
[6] See also P.J. Flory, Principles of Polymer Chemistry, Cornell Univ. Press, Ithaca,
1975.
[7] P.G. de Gennes, Phys. Lett. A 38 (1972) 339.
[注： Klein和March的论文已经发表在Physics Letters A 372 (2008) 5052–5053。论文抽印本也见本博文的附件。]
学术论剑
https://blog.sciencenet.cn/blog-2344-209854.html
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