今年是我主讲儒尔-凡尔纳大学（Université de Picardie Jules Verne）计算机系一年级的“逻辑课”的第三年，课程考核由二部分：期末考试和课题作业：识别谬误（2020-2021 逻辑课）。现把期末考试试卷译出：

期末考试试卷（2020-2021 逻辑课）

（时间2⼩时；闭卷考试）

习题1 (5 分)

(1) 写出p → q的真值表。

(2) 写出下面真值表所对应的公式A。你写的公式A是一个析取范式（DNF）吗？

p  q  A

0  0  0

0  1  1

1  0  1

1  1 0

(3) 用变量p写出一个重言式A，用变量p写出一个矛盾式B。

(4) 如果用一个公式Q取代(3)的重言式A中的变量p，那么公式A仍然是重言式吗？

习题2 (5 分)

证明以下序列（séquence）：

p → (q → r),  (p ∧ ¬ r ) ⊢ ¬ q

(1) 用自然演绎法 （déduction naturelle）证明;

(2) 用分解树证明。

习题3 (6 分)

一家商店的大量货物被盗，小偷乘车逃走了，三个叫A、B、C的嫌疑犯被传唤到警察局受审，警察确定了以下事实：

（1）除了A、B、C之外，没有其他人可能参与抢劫。

（2）没有A的帮助，C不可能作案。

（3）B不会开车。

问：A有罪吗？用真值表论证你的答案。

习题4 (4 分) 

毕达哥拉斯式螺旋图

考虑以下直角三角形 OA1A2，OA1=A1A2 = 1。

接着画出点A3，A4，A5，，。。。，An，使 OAnAn+1是直角三角形（直角位于An），并且使An An+1 =1。

记（un）为由 un=OAn 定义的序列，有n≥1。

（1）在直角三角形 OA1A2的基础上画出点A3，A4，A5，已知u1=OA1=1，然后用勾股定理计算u2、u3、u4和u5，由此猜想序列un的公式。

（2）用数学归纳法来证明你所猜想的公式。