各维矢量的各种特性的公式表达。

平直坐标：

1维空间矢量：直线

位置r(1)[1线矢]=r1[1基矢]，1个变量：r1，

r(1)=r1，

2维空间矢量：平面

位置r(2)[1线矢]=r1[1基矢]+r2[2基矢],  2个变量：r1、r2，

r(2)=(r1^2+r2^2}^(1/2)，可表达为：

(x1/a)^2+(x2/b)^2=1，a、b，分别为长、短，半轴的椭圆。

3维空间矢量：立方体

位置r(3)[1线矢]=r1[1基矢]+r2[2基矢]+r3[3基矢]，

3个变量：r1、r2、r3，

r(3)=(r1^2+r2^2+r3^2}^(1/2)，可表达为：

(x1/a)^2+(x2/b)^2+(x3/c)^2=1，a、b、c，分别为1、2、3，半轴的椭球。

   弯曲坐标：

1维空间矢量：曲线

位置r(1)[1线矢]=r [r基矢]，与平直坐标相同，仅1个变量：r。

r(1)=r，

dr(1)[1线矢]=dr [r基矢]，

dr(1) =dr，当r不变，积分为圆弧，圆周长=2πr。

2维空间矢量：曲面

位置r(2)[1线矢]=(r(2)cosθ)[1基矢]+ (r(2)sinθ)[2基矢],

2个变量：r(2)、θ，

r(2)={(r(2)cosθ)^2+(r(2)sinθ)^2}^(1/2)，只有1个变量： r(2)，

dr(2)[1线矢]=(drcosθ)[1基矢]+(rcosdθ)[2基矢],

2个变量：r、θ，

dr(2) ={(dr(2)cosθ)^2+(r(2)cosdθ)^2}^(1/2),

    当r不变，积分为圆面积=πr^2

3维空间矢量：弯体

位置r(3)[1线矢]=r(3)cosθ[1基矢]+r(3)sinθcosφ[2基矢]

+r(3)sinθsinφ[3基矢]，

r(3)={(r(3)cosθ)^2+(r(3)sinθcosφ)^2+(r(3)sinθsinφ)^2}^(1/2)，

dr(3)[1线矢]=((dr(3)cosθ)[1基矢]+(r(3)cosθdθcosφ)[2基矢]

+(r(3)sinθcosφdφ)[3基矢]，

dr(3)={(dr(3)cosθ)^2+(r(3)cosθdθcosφ)^2

+(r(3)sinθcosφdφ)^2}^(1/2)

  当r不变，积分为圆球体积=3πr^3/4，

4维空间矢量：

位置r(4)[1线矢]=r0[0基矢]+r(3)[(3)基矢]，2个变量：r0、r(3)，

    r0=i(c或a*)t，i是虚数符，c或a*是所在介质中的光速或声速，t是经历的时间，(下同)

   其3维空间部分，r(3)[(3)基矢]，可分别有如前的1、2、3，维情况。

r(4)={-((c或a*)t)^2+r(3)^2}^(1/2)，r0=i(c或a*)t，可表达为：

{(r(3)/a)^2-((c或a*)t/b)^2=1，a、b，分别为长、短，半轴的双曲线。

弯曲坐标：弯环

r(4)[1线矢]=r0[0基矢]+(r(3)cosθ)[1基矢]

+(r(3)sinθcosφ)[2基矢]+(r(3)sinθsinφ)[3基矢]，

r(4)^2=r0^2+r1^2+r2^2+r3^2=(i(c或a*)t)^2+x^2+y^2+z^2

=r0^2+(r(3)cosθ)^2+(r(3)sinθcosφ)^2+(r(3)sinθsinφ)^2，

dr(4)[1线矢]=dr0[0基矢]+(dr(3)cosθ)[1基矢]

+(r(3)cosθdθcosφ)[2基矢]+(r(3)sinθcosφdφ)[3基矢]，

dr(4)={dr0^2+(dr(3)cosθ)^2+(r(3)cosθdθcosφ-)^2

+(r(3)sinθcosφdφ)^2}^(1/2)，r0=i(c或a*)t，

   如图，也可表达为：

dr(4)[1线矢]=(dr(4)cosψ)[0基矢]+(r(4)cosψdψcosθ)[1基矢]

+(r(4)sinψcosθdθcosφ)[2基矢]+(r(3)sinψsinθcosφdφ)[3基矢]，

dr(4)={(dr(4)cosψ)^2+( r(4)cosψdψcosθ)^2+(r(4)sinψcosθdθcosφ)^2

+(r(3)sinψsinθcosφdφ)^2}^(1/2)，

    各高维的位置矢量，其中，奇数次时维，作为时间轴，偶数次时维，作为空间轴，处理。

    各维的速度矢量，都只是各维位置矢量的时间导数，以上各种情况，都仅需将各维位置矢量换为各维速度矢量，即成。

各维的速度矢量，都只是各维位置矢量的时间导数，以上各种情况，都仅需将各维位置矢量换为各维速度矢量，即成。

各维的动量矢量，都只是各维速度矢量乘质量。

各维的时空动量矢量：电中性和带电，粒子都有相应的静止质量与运动质量；光子或声子的静止质量=0，其运动质量和动量都需由其能量hν(光子或声子)与速度(光子c或声子a*)表达。

    各种粒子各维位置矢量的时间轴与空间轴都构成，如下图，红移与蓝移交替的双曲线，的变化规律。

    图1：大图是波长L0的双曲线，小图是波长L0/2的双曲线，

    x=星体的光传到观测点需时t，

    y=星体的光传到观测点的红移量z，

当t趋于1时，z趋于无穷大 (见图1中大、小图第2象限) 。

从t=1到2，就转到第4象限，而z就从趋于负无穷大到趋于0。