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矢量和矢算从3维空间到4维时空的发展
“矢量”是有“方向”和“大小”的物理量。
由坐标系的“原点”(坐标系的中心点)位置,及其[j基矢](确定j分量方向的单位矢)、“j模长”,Aj,(确定j分量大小的数值),j是该矢量的“维”数,就完全确定了其最基本的矢量,[1线矢]。
对于“仿射系”,各[j基矢]间有确定的夹角。可都与相应的“正交系”(各“基矢”间的夹角都是90度)有确定的变换关系。
因而,“仿射系”都可由相应的“正交系”表达。
为简便计,本文仅采用正交系。
需要“仿射系”时,可由相应确定的变换关系,变换求得。
矢量的加、减:由各相同分量,相加、减。
矢量的叉乘积:模长=各矢量模长的乘积;各基矢=各矢量中的各不同维基矢组合(各矢量不能有完全相同的基矢,否则,乘积=0);其正、负=相应确定的正序的偶、奇次逆序。
矢量的点乘积:模长=各矢量模长的乘积;各基矢=各矢量中销除相同维基矢后,剩余的该类基矢组合(各矢量必有完全相同的基矢,否则,乘积=0)若无剩余,即成标量;其正、负=相应确定的正序的偶、奇次逆序。
只要矢量的原点,及相应j维的,各[j基矢]、Aj模长,确定后,就能完全确定其[1线矢],及其模长,和多个[1线矢]各种矢算,逐次产生的各种多线矢,及其模长。
1.经典物理学的3维空间矢量:
经典物理学按所谓“绝对时间”的观点,即:时间与矢量的参考系无关。因而:
矢量A(3)[1线矢]仅由3维空间各分量的,[j基矢](确定j分量方向的单位矢)和“j模长”,Aj,(确定j分量大小的数值)确定,时间只是各分量模长,Aj,函数,Aj(t),的参量,t。即:
A(3)[1线矢]=Aj[j基矢],j=1到3求和。
A(3)[1线矢]的模长:A(3)=(Aj^2,j=1到3求和)^(1/2)
A(3)[1线矢]+或- B(3)[1线矢]=( Aj+或-Bj)[j基矢],j=1到3求和。
A(3)+或- B(3)=((Aj+或- Bj)^2, j=1到3求和)^(1/2)
A(3)[1线矢]叉乘B(3)[1线矢]=A(3) B(3)[2线矢]
=(AkBl-AlBk)[kl基矢],kl=123循环求和。
仍然是3维的矢量,通常是将[kl基矢]表达为[j基矢],而成为:
A(3)[1线矢]叉乘B(3)[1线矢] =(AkBl- AlBk) [j基矢],jkl=123循环求和
=A(3) B(3)[1线矢]。
A(3)[1线矢]点乘B(3)[1线矢] =AjBj,j=1到3求和[标量]。
(A(3)[1线矢]叉乘B(3)[1线矢])叉乘C(3)[1线矢]=A(3)B(3)C(3)[3线矢]
=((AkBl-AlBk) [j基矢],jkl=123循环求和)点乘C(3)[1线矢]
=(AkBl- AlBk)Cj,jkl=123循环求和[标量]。
因此,3维空间,只有,1线矢和标量,无需定义多线矢。
判定正、负:123循环为+,乘(-1)^(逆序的次数)
2.4维时空多线矢,及其矢算的创建
狭义相对论打破经典力学“绝对时间”的错误观点,采用欧基里得(Euclid) 4维时空的闵可夫斯基(Minkowski)矢量表达客体的时空位置,即由4个彼此线性无关的 (对于正交系,为彼此正交的) 轴矢组成的轴矢系,表达时空位置矢量,其中,时间不仅是各3维空间分量“模长”的重要参量,而且还是另外的与3维空间分量彼此线性无关的(对于正交系,为彼此正交的) “时轴”分量的主角。
而“时轴”分量的“模长”由ict (i是虚数符,即-1的平方根,c是惯性牵引运动参考系真空中3维空间光速,t是时间) 表达。
1线矢[矢A] =[A(a) [基矢a],a=0到3求和]。 4维。
3线矢[矢ABC] 可表达为1线矢[矢D] 。
2线矢[矢AB]= 1线矢[矢A]叉乘1线矢[矢B]
=[AB(0j)[基矢0j]+ AB(kl)[基矢kl], jkl=123循环求和]。6维。
1线矢[矢A]点乘1线矢[矢B]=A(a)B(a),a=0到3求和。标量。
2线矢[矢AB]点乘1线矢[矢C]
=AB(0j)C(0)[基矢j]-AB(0j)C(j)[基矢0],j=1到3求和
+AB(kl)C(k) [基矢l]-AB(kl) C(l) [基矢k], jkl=123循环求和。4维。
2线矢[矢AB]点乘2线矢[矢CD]
=AB(0j)CD(0j)+AB(kl) CD(kl),jkl=123循环求和。标量。
4线矢[矢ABCD]可表达为2线矢[矢AB]点乘2线矢[矢CD]。标量。
22线矢[矢AB,CD]=2线矢[矢AB]叉乘2线矢[矢CD]
=[AB,CD(0k,0l)[基矢0k,0l]+AB,CD(0j,kl)[基矢0j,kl]
+AB,CD(0k,kl)[基矢0k,kl]+AB,CD(0l,kl)[基矢0l,kl]
+AB,CD(jk,kl)[基矢jk,kl], jkl=123循环求和]。15维。
22222线矢[矢AB,CD,EF,GH,IJ]可表达为2线矢[矢A*B*]
222222线矢[矢AB,CD,EF,GH,IJ,kl]=2线矢[矢A*B*]点乘2线矢[矢C*D*]。
222线矢[矢(AB, CD,EF)]=22线矢[矢AB,CD] 叉乘2线矢[矢EF]
=(AB,CD,EF)(01,02,03)[基矢(01,02,03)]+[(AB,CD,EF)(23,31,12)[基矢(23,31,12)]
+(AB,CD,EF)(0k,0l,kl)[基矢(0k,0l,kl)]+(AB,CD,EFCD,EF)(0k,0l,lj)[基(0k,0l,lj)]
+(AB,CD,EF)(0k,0l,jk)[基矢(0k,0l,jk)]+(AB,CD,EF)(0j,kl,lj)[基矢(0j, kllj)]
+(AB,CD,EF)(0j,lj,jk)[基矢(0j,lj,jk)]+ (AB,CD,EF)(0j,jk,kl)[基矢(0j,jk,kl)]
,jkl=123循环求和}。20维。
2222线矢[矢(AB, CD,EF,GH)]可表达为222线矢[矢(A*B*, C*D*,E*F*)]。
22,1线矢[矢(AB,CD)E]=22线矢[矢AB,CD]叉乘1线矢[矢E]
=[(AB,CD)E(0k,0l)j[基矢(0k,0l)j] +(AB,CD)E(0k,kl)j[基矢(0k,kl)j]
+(AB, CD)E(0l,kl)j[基矢(0l,kl)0] +(AB,CD)E(jk,kl)0[基矢(jk, kl)0]
,jkl=123循环求和]。12维。
22线矢[矢AB,CD] 点乘1线矢[矢E]
=[E(0)AB,CD(0k,0l)[基矢kl]+E(k)AB,CD(0k,0l)[基矢0l]
+E(l)AB,CD(0k,0l)[基矢-0k]
+E(0)AB,CD(0j,kl)[基矢jkl]+E(j)AB,CD(0j,kl)[基矢-0kl]
+E(k)AB,CD(0j,kl)[基矢0jl]+E(l)AB,CD(0j,kl)[基矢0jk]
+E(0)AB,CD(0k,kl)[基矢kl]+E(k)AB,CD(0k,kl)[基矢0l]
+E(l)AB,CD(0k,kl)[基矢0k]
+E(0)AB,CD(0l,kl)[基矢kl]+E(k)AB,CD(0l,kl)[基矢0l]
+E(l)AB,CD(0l,kl)[基矢0k]
+E(j)AB,CD(jk,kl)[基矢kl]+E(k)AB,CD(jk,kl)[基矢jl]
+E(l)AB,CD(jk,kl)[基矢jk]
, jkl=123循环求和]。10维。
22,1线矢[矢(AB,CD)E] 点乘1线矢[矢F]
=E(j)[(AB,CD)E(0k,0l)j+(AB,CD)E(0k,kl)j]
+E(0)[(AB, CD)E(0l,kl)0+(AB,CD)E(jk,kl)0]
,jkl=123循环求和]。标量。
222,1线矢[矢(AB,CD,EF)G]
=(AB,CD,EF)G(23,31,12)0[基矢(23,31,12)0]
+{(AB,CD,EF)G(0k,0l,kl)j[基矢(0k,0l,kl)j],jkl=123循环求和}。4维。
222,1线矢[矢(AB, CD,EF)G]点乘1线矢[矢H]
=[H(0)(AB, CD,EF)G(23,31,12)0
+H(j){(AB,CD,EF)G(0k,0l,kl)j,jkl=123循环求和}]。标量。
因此,4维时空,就必然产生如上的各类多线矢和标量。
判定正、负:0在前、123循环,为+ ,乘(-1)^(逆序的次数)
仿射系*与正交系#的变换:
2维:
1*=cosA1#-sinA2#
2*=sinA1#+cosA2#
3维:
1*=cosA 1#-sinA 2#
2*=sinAcosB1#+cosAcosB 2# -sinB 3#
3*=sinAsinB 1#+cosAsinB 2#+cosB 3#
4维:
1*=cosA 1#-sinA 2#
2*=sinAcosB 1#+cosAcosB 2# -sinB 3#
3*=sinAsinBcosC1#+cosAsinBcosC2#+cosBcosC 3#-sinC 4#
4*=sinAcosBsinC1#+cosAcosBsinC 2#+cosBsinC 3#+cosC 4#
还可如此类推到更多维。
2维:
1*=a 1#+b 2#
2*=-b1#+a 2#
a^2+b^2 =1
4维:
1*=a 1#+b 2#+c 3#+d 4#
2*=-b1#+a 2#+d 3#-c 4#
3*=-c1#-d 2#+a 3#+b 4#
4*=-d1#+c 2#-b 3#+a 4#
a^2+b^2+c^2+d^2=1
还可如此类推到更多偶数维。
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