矢量和矢算从3维空间到4维时空的发展

“矢量”是有“方向”和“大小”的物理量。

由坐标系的“原点”(坐标系的中心点)位置，及其[j基矢](确定j分量方向的单位矢)、“j模长”，Aj，(确定j分量大小的数值)，j是该矢量的“维”数，就完全确定了其最基本的矢量，[1线矢]。

对于“仿射系”，各[j基矢]间有确定的夹角。可都与相应的“正交系”(各“基矢”间的夹角都是90度)有确定的变换关系。

因而，“仿射系”都可由相应的“正交系”表达。

为简便计，本文仅采用正交系。

需要“仿射系”时，可由相应确定的变换关系，变换求得。

矢量的加、减：由各相同分量，相加、减。

矢量的叉乘积：模长=各矢量模长的乘积；各基矢=各矢量中的各不同维基矢组合(各矢量不能有完全相同的基矢，否则，乘积=0)；其正、负=相应确定的正序的偶、奇次逆序。

矢量的点乘积：模长=各矢量模长的乘积；各基矢=各矢量中销除相同维基矢后，剩余的该类基矢组合(各矢量必有完全相同的基矢，否则，乘积=0)若无剩余，即成标量；其正、负=相应确定的正序的偶、奇次逆序。

   只要矢量的原点，及相应j维的，各[j基矢]、Aj模长，确定后，就能完全确定其[1线矢]，及其模长，和多个[1线矢]各种矢算，逐次产生的各种多线矢，及其模长。

1．经典物理学的3维空间矢量：

经典物理学按所谓“绝对时间”的观点，即：时间与矢量的参考系无关。因而：

矢量A(3)[1线矢]仅由3维空间各分量的，[j基矢](确定j分量方向的单位矢)和“j模长”，Aj，(确定j分量大小的数值)确定，时间只是各分量模长，Aj，函数，Aj(t)，的参量，t。即：

A(3)[1线矢]=Aj[j基矢],j=1到3求和。

A(3)[1线矢]的模长：A(3)=(Aj^2,j=1到3求和)^(1/2)

A(3)[1线矢]+或- B(3)[1线矢]=( Aj+或-Bj)[j基矢],j=1到3求和。

A(3)+或- B(3)=((Aj+或- Bj)^2, j=1到3求和)^(1/2)

A(3)[1线矢]叉乘B(3)[1线矢]=A(3) B(3)[2线矢]

=(AkBl-AlBk)[kl基矢],kl=123循环求和。

   仍然是3维的矢量，通常是将[kl基矢]表达为[j基矢]，而成为：

A(3)[1线矢]叉乘B(3)[1线矢] =(AkBl- AlBk) [j基矢],jkl=123循环求和

=A(3) B(3)[1线矢]。

A(3)[1线矢]点乘B(3)[1线矢] =AjBj,j=1到3求和[标量]。

(A(3)[1线矢]叉乘B(3)[1线矢])叉乘C(3)[1线矢]=A(3)B(3)C(3)[3线矢]

 =((AkBl-AlBk) [j基矢],jkl=123循环求和)点乘C(3)[1线矢]

=(AkBl- AlBk)Cj,jkl=123循环求和[标量]。

   因此，3维空间，只有，1线矢和标量，无需定义多线矢。

判定正、负：123循环为+，乘(-1)^(逆序的次数)

2．4维时空多线矢，及其矢算的创建

狭义相对论打破经典力学“绝对时间”的错误观点，采用欧基里得(Euclid) 4维时空的闵可夫斯基(Minkowski)矢量表达客体的时空位置，即由4个彼此线性无关的 (对于正交系，为彼此正交的) 轴矢组成的轴矢系，表达时空位置矢量，其中，时间不仅是各3维空间分量“模长”的重要参量，而且还是另外的与3维空间分量彼此线性无关的(对于正交系，为彼此正交的) “时轴”分量的主角。

而“时轴”分量的“模长”由ict (i是虚数符，即-1的平方根，c是惯性牵引运动参考系真空中3维空间光速，t是时间) 表达。

1线矢[矢A] =[A(a) [基矢a]，a=0到3求和]。 4维。

  3线矢[矢ABC] 可表达为1线矢[矢D] 。

2线矢[矢AB]= 1线矢[矢A]叉乘1线矢[矢B]

=[AB(0j)[基矢0j]+ AB(kl)[基矢kl], jkl=123循环求和]。6维。

1线矢[矢A]点乘1线矢[矢B]=A(a)B(a),a=0到3求和。标量。

2线矢[矢AB]点乘1线矢[矢C]

=AB(0j)C(0)[基矢j]-AB(0j)C(j)[基矢0],j=1到3求和

+AB(kl)C(k) [基矢l]-AB(kl) C(l) [基矢k], jkl=123循环求和。4维。

2线矢[矢AB]点乘2线矢[矢CD]

=AB(0j)CD(0j)+AB(kl) CD(kl),jkl=123循环求和。标量。

4线矢[矢ABCD]可表达为2线矢[矢AB]点乘2线矢[矢CD]。标量。

22线矢[矢AB,CD]=2线矢[矢AB]叉乘2线矢[矢CD]

=[AB,CD(0k,0l)[基矢0k,0l]+AB,CD(0j,kl)[基矢0j,kl]

+AB,CD(0k,kl)[基矢0k,kl]+AB,CD(0l,kl)[基矢0l,kl]

+AB,CD(jk,kl)[基矢jk,kl], jkl=123循环求和]。15维。

22222线矢[矢AB,CD,EF,GH,IJ]可表达为2线矢[矢A*B*]

222222线矢[矢AB,CD,EF,GH,IJ,kl]=2线矢[矢A*B*]点乘2线矢[矢C*D*]。

222线矢[矢(AB, CD,EF)]=22线矢[矢AB,CD] 叉乘2线矢[矢EF]

=(AB,CD,EF)(01,02,03)[基矢(01,02,03)]+[(AB,CD,EF)(23,31,12)[基矢(23,31,12)]

+(AB,CD,EF)(0k,0l,kl)[基矢(0k,0l,kl)]+(AB,CD,EFCD,EF)(0k,0l,lj)[基(0k,0l,lj)]

+(AB,CD,EF)(0k,0l,jk)[基矢(0k,0l,jk)]+(AB,CD,EF)(0j,kl,lj)[基矢(0j, kllj)]

+(AB,CD,EF)(0j,lj,jk)[基矢(0j,lj,jk)]+ (AB,CD,EF)(0j,jk,kl)[基矢(0j,jk,kl)]

,jkl=123循环求和}。20维。

2222线矢[矢(AB, CD,EF,GH)]可表达为222线矢[矢(A*B*, C*D*,E*F*)]。

22,1线矢[矢(AB,CD)E]=22线矢[矢AB,CD]叉乘1线矢[矢E]

=[(AB,CD)E(0k,0l)j[基矢(0k,0l)j] +(AB,CD)E(0k,kl)j[基矢(0k,kl)j]

+(AB, CD)E(0l,kl)j[基矢(0l,kl)0] +(AB,CD)E(jk,kl)0[基矢(jk, kl)0]

,jkl=123循环求和]。12维。              

22线矢[矢AB,CD] 点乘1线矢[矢E]

=[E(0)AB,CD(0k,0l)[基矢kl]+E(k)AB,CD(0k,0l)[基矢0l]

 +E(l)AB,CD(0k,0l)[基矢-0k]

+E(0)AB,CD(0j,kl)[基矢jkl]+E(j)AB,CD(0j,kl)[基矢-0kl]

+E(k)AB,CD(0j,kl)[基矢0jl]+E(l)AB,CD(0j,kl)[基矢0jk]

+E(0)AB,CD(0k,kl)[基矢kl]+E(k)AB,CD(0k,kl)[基矢0l]

+E(l)AB,CD(0k,kl)[基矢0k]

+E(0)AB,CD(0l,kl)[基矢kl]+E(k)AB,CD(0l,kl)[基矢0l]

+E(l)AB,CD(0l,kl)[基矢0k]

+E(j)AB,CD(jk,kl)[基矢kl]+E(k)AB,CD(jk,kl)[基矢jl]

+E(l)AB,CD(jk,kl)[基矢jk]

, jkl=123循环求和]。10维。

22,1线矢[矢(AB,CD)E] 点乘1线矢[矢F]

=E(j)[(AB,CD)E(0k,0l)j+(AB,CD)E(0k,kl)j]

+E(0)[(AB, CD)E(0l,kl)0+(AB,CD)E(jk,kl)0]

,jkl=123循环求和]。标量。

222,1线矢[矢(AB,CD,EF)G]

=(AB,CD,EF)G(23,31,12)0[基矢(23,31,12)0]

+{(AB,CD,EF)G(0k,0l,kl)j[基矢(0k,0l,kl)j],jkl=123循环求和}。4维。

222,1线矢[矢(AB, CD,EF)G]点乘1线矢[矢H]

 =[H(0)(AB, CD,EF)G(23,31,12)0

+H(j){(AB,CD,EF)G(0k,0l,kl)j,jkl=123循环求和}]。标量。

   因此，4维时空，就必然产生如上的各类多线矢和标量。

判定正、负：0在前、123循环，为+ ，乘(-1)^(逆序的次数)

仿射系*与正交系#的变换：

2维：

1*=cosA1#-sinA2#

2*=sinA1#+cosA2#

3维：

1*=cosA     1#-sinA   2#

2*=sinAcosB1#+cosAcosB 2# -sinB  3#

3*=sinAsinB  1#+cosAsinB 2#+cosB 3#

  4维：

1*=cosA        1#-sinA        2#

2*=sinAcosB   1#+cosAcosB    2# -sinB    3#

3*=sinAsinBcosC1#+cosAsinBcosC2#+cosBcosC 3#-sinC 4#

4*=sinAcosBsinC1#+cosAcosBsinC 2#+cosBsinC 3#+cosC 4#

  还可如此类推到更多维。

   2维：

1*=a 1#+b 2#

2*=-b1#+a 2#

a^2+b^2 =1

   4维：

1*=a 1#+b 2#+c 3#+d 4#

2*=-b1#+a 2#+d 3#-c 4#

3*=-c1#-d 2#+a 3#+b 4#

4*=-d1#+c 2#-b 3#+a 4#

  a^2+b^2+c^2+d^2=1

  还可如此类推到更多偶数维。