物理学笔记（7）：伽利略与孙元化的“弹道学”

  校验科学与技术最好的试验场是战场。所谓“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，兴兵必先“庙算”，这是关于Game Theory的学问——按局戏或赌博的传统，它可译为“博弈论”或“对策论”；按算筹与谋略的传统，它又属于“运筹学”（Operations research）的一部分。也就是说，战略与战术谋划是数学（尤其是应用数学）的活儿——看看孙子与克劳塞维茨。剩下的，武器装备是物理与化学的活儿——看看阿基米德、墨子乃至于弗里茨·哈伯，情报分析玩的是计算机与密码学（其实还是数学）——看看图灵。到了战场上，阵地工事、冲锋阵型与火力覆盖靠的还是几何学——古罗马与秦帝国深谙此道，即使在现代战争中，机械化装备（包括海军与空军）展开与局部散线冲锋（包括二战前成熟的“大纵深理论”）也是需要阵型的。

   在“巨舰大炮”时代（也就是重视火力甚于机动性，然而罗马军团败给了阿提拉，整个欧洲的重装军团又败给了成吉思汗的子孙，“小胡子”的“虎王”败给了“大胡子”的T-34），“达瓦里希”斯大林教导我们：炮兵是战争之神！当然，这个“炮兵之神”也可以是一个人——拿破仑·波拿巴，炮兵科班出身（24岁干到炮兵准将），正儿八经跟过拉格朗日、拉普拉斯学数学和物理，还是法兰西科学院院士（还有“拿破仑定理”），玩的是出神入化！

   拿破仑念炮兵科的核心课程是什么呢？——弹道学（Ballistics），今天它也兵器相关专业的必修课程之一（当然内容更丰富了）。

   这门学问要从伽利略的《关于两门新科学的对话》（Dialogues Concerning Two New Sciences,Henry Crew and Alfonso de Salvio,trans.,Macmillan,New York,1914）说起,这是伽利略老人家在《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》之后，“贼心不死”且更为“狡猾”的集大成之作（1638年初版于荷兰），国内有武际可老师的中译版（北京大学出版社，2006）。

  在书中，伽利略讨论了一个弹道学的基本问题——“理想弹道的最大射程角”，即不考虑空气阻力，在同一水平面，当弹体出射速率一定时，求使射程最大的射角。

  在物理上，这个问题依赖于运动学中的“斜抛模型”，我们今天处理这个问题的手法和伽利略本人的大同小异，即把斜抛运动分解为水平方向的匀速直线运动与竖直方向（重力方向）的上抛运动。伽利略在书中介Sagredo（在两部《对话》中是态度中立的形象）之口写道：

  如果运动在水平方向保持匀速运动，而自由落体也保持自己的特点——与时间的平方成比例地加速，并且这两种运动和速度能够叠加，而又互不干扰和妨碍，那么我不得不承认，这种论断是新颖、巧妙和令人信服的。

  伽利略总结道：

  仅用数学便得到如此严格的证明，这使我心中充满又惊又喜的感觉。……大炮和迫击炮轰击时，最大射程（即炮弹发射的最远距离），是在仰角45度时获得的……但是要理解为什么发生这种情况，这比从别人那里得到证据甚至反复实验得到的证据重要的多……通过探索原因而达到对某一效应的理解会使人顿开茅塞，从而使理解和确证其他事实无须再借助实验，目前的例子恰好证明了这一点：由于证明了最大射程必定是仰角为45度时发生的，因此也证明了实际上可能从未观测到的情况，即在与45度相差（大于或小于）等量角度时，射程是相等的。

 45度射角的结论在伽利略之前就被达·芬奇和塔尔塔利亚（Tartaglia，就是那位给出代数三次方程求根公式的著名“结巴”）掌握了。关于伽利略的论证表述，L.Cooper在《物理世界》中给出评价：

   伽利略在《对话》的论文中用的完全是现代语言，这一点最为令人惊讶。除了文章的格式外（三百年来，文章的格式不可避免地发生了一些变化），伽利略讨论的所有问题，他所用的名词——力、加速度、匀速运动、惯性——我们完全懂得。

  所以，今天我们处理这个问题（具备高中数理知识就足够了），只需要在伽利略基本思路的基础上套上笛卡尔提供的“语言”——解析几何：

 v为出射速度，α为射角。那么水平位移x和竖直位移y关于时间t的参数方程组为：

$x=vcos\alpha \cdot t$

$y=vsin\alpha \cdot t-\frac{1}{2}gt^{2}$

消去时间参数t，就可以得到轨道方程：

$y=xtan\alpha -\frac{gx^{2}}{2v^{2}cos^{2}\alpha }$

这是一个抛物线方程，表明弹体或抛体的空间轨迹是抛物线型。要讨论最大射程角，就是研究x(α)的最值问题。把整个运动时间

$t=\frac{2vsin\alpha }{g}$

代入x（t），得

$x(\alpha )=\frac{2v^{2}sin\alpha \cdot cos\alpha }{g}=\frac{v^{2}sin2\alpha }{g}$

结合三角函数的知识，当且仅当α=45°时，x(α)取最大值。

  伽利略的弹道学研究主要是建立运动学的基本物理量和为牛顿动力学作铺垫，在实际弹道问题中，考虑空气阻力的情况（否则枪管里就不需要膛线了）还要牛顿等后来者讨论。另一方面，实际中的弹道即使出射速率一定（这取决发射药装填等因素，属于“内弹道”问题），还要考虑出射点与落点的高度差、风向风速、打击效果等种种因素影响——一个狙击小组需要两个人，其中一位就要负责这些实战因素的校准以辅助攻击。理想弹道只能作为一个理论基准，其中最大射程角可以作为实际最佳出射角的校准参考，这里的“最佳出射角”是指考虑了空气阻力等等因素的最大射程角，而非针对实战的有效射程或杀伤射程。比如榴弹炮和迫击炮在打击目标时需要较大的俯角，越过障碍物，它们的最佳出射角一般要大于45度，而直瞄火炮（加农炮、反坦克炮，包括近距离使用的枪械）的弹道低伸，最佳出射角一般小于45度（一般的步枪大概在30度左右）。就是我们体育课的实心球项目，考虑出射点与落点高度差，最佳出手角度也在40到42度范围左右。

   伽利略之前对最大射程角乃至于弹道学的认识是经验性的，它是严格理论的基础，是粗糙的科学。从经验到理论，“理论家”的工作大致结束了，但仅靠这些严格且精密的规律回到经验是不够的，缺乏经验修正的理论至少在应用上是不成熟的——炮兵需要掌握弹道学，但不能让他们在战场上像伽利略那样调用参数作计算，他们需要回到经验的浅显明了的“数值关系”，即需要弹道和“射击诸元”建立更直观的联系。当然“自控火炮”的出现，简化了这个过程，但在“电磁攻击”条件下（比如遭受电磁脉冲弹打击），自控系统往往会失效。美军在阿富汗山区的遭遇表明：有时候还是不能丢了传统且灵活的办法，“唯意志论”要不得，“唯装备论”也要不得。

  换句话说，在战场实践中，弹道学理论推导掌握得如何与炮打得准不准没有太大关系（当然也不能说没有关系，导弹弹道就比火炮弹道的理论要求高）。比如冷兵器时代弩机上的“望山”，从先秦时代没有刻度到西汉有刻度，就是一个应用上的飞跃，它意味着在实践意义上建立了弹道的“数值关系”。

  关于战争的学问要在战争实践中丰富！

  这方面的工作又需要提到一个人——明末学者孙元化，本来我是想把他放到“文人与军事”（http://blog.sciencenet.cn/blog-217073-839395.html ）这个系列中，但那里实在“塞”不下作为比较的伽利略老人家，干脆就让他提前出场吧。孙元化（1581~1632）是明熹宗天启年间举人，作为徐光启的学生，是“西风东渐”时期的重要人物，也是袁崇焕经略辽东的主要（甚至可以说最重要的）助手之一，官至“右佥都御史巡抚登莱”（相当于省军区司令员），但他的下场也与袁崇焕类似。

  孙元化曾从徐光启和利玛窦（注意，他作过伽利略的老师）习“天学”（主要是近代科学），主攻几何（著有《几何用法》、《几何体用》等）与西洋火器，亦曾受天主教（耶稣会）洗礼，是当时士大夫阶层中的天主教徒，教名Ignacio。

  明初由于北元的骑兵压力（机动性优势），火器制作与运用（以火力优势对抗机动性优势）一度达到极高水平。明中叶以来，虽然内忧外患不断（比如“万历三大征”），不敌中央枢要“怠政”之积弊（不得不说是一帮不干实事只会在一旁挑理的清流言官惹的祸），火器水平急速衰落，以至于沦为“礼器”（就是在庆典场合放放“炮仗”）。万历朝鲜战争之后（日本人当时有火力优势），以骑兵为主（机动性优势）的后金军事崛起，迫使明廷从葡萄牙（据澳门）与荷兰（据台湾）大量引进“佛郎机”、“红夷大炮”等装备技术，与后金骑兵力量达到均势甚至一度反超（故，明亡非战之过），孙元化可以代表当时中国人掌握火器的最高水平——毕竟原始创新在我们这里，丢得快，捡起来也快！

  孙元化最重要的著作是《西法神机》（成书于1632年，类似的还有耶稣会士汤若望授，焦勖编篡的《火攻挈要》）。在其中《点放大小铳说》一篇，孙元化于实践意义上论述了“最大射程角”：

  点放欲知几远,须为器以度之。状如覆矩,以铜为之,勾长尺余。股长一寸五分,以勾股交为运规心。只作四分规之一,规心透窍,系以线,线末用锤,循规绕边,匀分十二度。同时以勾入铳口内,则是此勾即同铳身也。以线所直度为高下,数以测远近之步即可知铳弹到处。此测量而兼以药力究竟也。然必度铳身及口折中之,不能虚度,以例推耳其定数具后。每高一度,则铳弹到处较平放更远,推而至于六度,远步乃止,高七度,弹反短步矣。假若平放,必须铳身上水银点滴不走方是。

图引自《西法神机》（杨恒福跋清光绪28年版）

 此处的“一度”也叫“一分”合7.5°，“至于六度,远步乃止”就是说射角达到45°，射程最远。孙元化不仅给出了实践中校正射角与射程的工具“量铳规”，还以红夷大炮为例提供了射角和射程的对照关系：

   仰角为零：268步 仰角一分：594步 仰角二分：794步 仰角三分：954步 仰角四分：1010步
　　仰角五分：1040步 仰角六分：1053步

此处“一步”合0.58m，这个“数值关系”既参考了西洋军事工程数据又结合了实战实测，并推广到各种火器建立“照表”（与有刻度的“望山”作用相同），它在实战中的意义大于理论推导的方程。特别是，孙元化还基于实战的打击目的（攻城、守城、斩将、击零,扫众、惊远、惊近等，见《火攻挈要》），探讨了实际弹道的修正（包括落点修正），指出：全用其直势,亦半用其曲势,曲势过半,不能杀人矣。

 在耶稣会的“天学”启蒙和后金军事压力的双重条件下，明末士大夫阶层的一部分“循吏”在应用技术上与同时代欧洲站在了同一起跑线上，在明与后金的军事较量中一度获得巨大优势。但历史终究有自己的走向，机会总是稍纵即逝。明朝的覆亡导致这部分开明士大夫阶层的崩溃（这与德川幕府建立前后的日本类似），昙花一现的技术繁荣灰飞烟灭——因降将兵变，孙元化被诬陷下狱冤杀，炮术不传。

  四五十年后，同样的耶稣会士南怀仁（汤若望的继承者）们向帝国新的统治者奉献“天学”，当内外军事压力这个条件不复存在，它最终只是帝王深宫里的玩物罢了。