看了一则报道，讲述法国数学多么厉害，而普通人的数学却十分差。法国人在数学奥赛上也没有什么成绩，然而数学水平很高。据说法国人不怎么做题，更多是思考。比如数学家也提出了“我思故我在”的至理名言。

   自认为对数学没有很深的灵性，只是喜欢思考，不死不休。把自己的体会翻出来，记录下来，避免忘了。

   概率、统计、随机相对来说是比较难的课程（至少对我如此）。对大数定律、中心极限定理一直理解不深。虽然能照猫画虎来解决小问题，但一直难以从内心深入理解。不过一直在思考这个问题，终于在某一天稍微想清楚了一点。

   掷硬币例子往往成为学习概率的第一个例子。掷硬币过程是不可控的，结果才会出现“正面或反面”。这个例子很好，却有致命的缺陷。因为掷硬币与后面大量问题完全对不上。掷硬币的例子是先掷硬币，后得到结果。而后面大量问题则是“结果是确定的，但就是不知道”。

   因此概率需要另一种理解方式——我掷硬币后用手盖住，让别人猜。这是一个不同的思路，如果思路打不通，就无法深入。我最初的疑惑就出现在这里。

   在掷硬币之前猜正反面，属于“不确定”。在掷硬币之后猜正反面，属于“确定了而不知道”，这是两个完全不同的问题。“掷完硬币”用手盖住不让人看，则是信息问题。我们遇到的绝大多数问题属于“确定了而不知道”。概率成为信息不足的结果。

  只有把概率理解为信息，才能更容易理解此类应用。比如同一个变量，随着信息量变化，概率分布也在变化。如果用掷硬币的例子来理解信息，就会让人头痛。

  掷硬币的例子有助于我们理解概率，同时也限制了思维。虽然用“掷硬币”引出了最简单的概率，但是后续的学习必须用信息思维。信息思维首先应用在中心极限定理上。设存在一个变量，服从某个分布，存在确定的数学期望和方差。我们知道存在“数学期望和方差”，但不知道具体数值。“概率分布、数学期望和方差”本来就存在着，只是不知道具体数值。这就属于信息问题。

 “期望和方差”是确定的常数，我们不是上帝，不知道具体数值。只能根据样本来估计。“期望和方差”应该符合某个分布，从而进行估计。“期望和方差”从常量成为了变量。很多哲学家如欧拉、康德、胡塞尔等人研究如何认识世界，讨论认识世界的可能性。在这里，哲学家与数学家产生了共鸣。

  为了得到“常量”的具体数值，只有根据样本进行“估计”。既然是估计，就不会得到某个具体数值，只会得到一个具体的概率分布。贝叶斯估计和中心极限定理就在这里起到作用了。基于中心极限定理进一步推理得到几个常用的统计量分布，如卡方、t分布、F分布。

把上面的过程再简单重复论述一次。某个随机变量符合某个概率分布，自然有确定的“期望和方差”，即“期望和方差”是一个确定数值。可由于我们不知道这个确定数值，只有根据样本进行估计。那么“期望和方差”就成为随机变量，而且符合某个分布，比如高斯分布。

概率必须采用信息思维。贝叶斯公式同样源于“信息问题”。条件概率中的“条件”，可以认为是信息。当获得了新信息，则可以减少不确定性。

假设检验和回归分析，都是理论向应用的延伸。可以用一句话来说明：从群众中来到群众中去。根据经验数据估计未知参数。然后根据估计结果再应用到现实中。

到了随机过程，还是围绕着概率分布。不过概率会随着时间发生变化。数学公式中的常量又成为了变量。微积分的理念、概率公式等等掺杂其中，产生了一些有趣的结果，比如伊藤积分、维纳过程、泊松过程等。

  在上数学分析课程时，大多数时间用在复杂函数的积分和微分求解上。而在实际应用中，深入理解微积分的定义更为必要。很多应用需要建立微分方程。为了建立微分方程，则需要灵活应用微积分的定义。