现代泛系量子微积分的勒贝格导数-以狄利克雷函数为例

美国归侨冯向军博士

2018/9/9

  【定义】：现代泛系量子微积分的勒贝格导数就是先将自变量区间按不同测度分类，然后再分别根据现代泛系量子微积分求导数的方法-牛顿原始求导法来求导，所得出的各种导数值。 

【举例】-狄利克雷函数的勒贝格导数

  狄利克雷函数f(x)=1,对于每一个实数域R内的有理数。

  狄利克雷函数f(x)=0,对于每一个实数域内的无理数。

  在现行基于柯西的微积分看来，狄利克雷函数f(x)处处不连续，处处不可导，也处处不可积。狄利克雷函数f(x)是最能反映出现行基于柯西的微积分的重大缺陷的函数。

  按勒贝格积分，狄利克雷函数f(x)在[0，1]内可积。

  按现代泛系量子微积分的勒贝格导数，狄利克雷函数f(x)处处可导：

  （一）将自变量的区间实数域R，按不同测度分为纯有理数区间、纯无理数区间和有理数无理数相邻的实区间等子区间。

  （二）对于纯有理数区间的每一个x，给x一个非零增量Δx，就有狄利克雷函数的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)=1-1=0。狄利克雷函数f(x)的增量与自变量的增量的比值Δy/Δx的最终形式是：F(x,Δx)=0/Δx=0。因此，根据 现代泛系量子微积分求导数的方法-牛顿原始求导法,勒贝格导数=df/dx=F(x,Δx)|Δx=0 = 0   (1)

（三）对于纯无理数区间的每一个x，给x一个非零增量Δx，就有狄利克雷函数f(x)的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)=0-0=0。狄利克雷函数f(x)的增量与自变量的增量的比值Δy/Δx的最终形式是：F(x,Δx)=0/Δx=0。因此，根据现代泛系量子微积分求导数的方法-牛顿原始求导法,勒贝格导数=df/dx=F(x,Δx)|Δx=0 = 0   (2)

（四）对于从有理数变到无理数的区间的每一个x，给x一个非零增量Δx，就有狄利克雷函数f(x)的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)=0-1=-1。狄利克雷函数f(x)的增量与自变量的增量的比值Δy/Δx的最终形式是：F(x,Δx)=-1/Δx。因此，根据现代泛系量子微积分求导数的方法-牛顿原始求导法,勒贝格导数=df/dx=F(x,Δx)|Δx=0 = -∞   (3)

（五）对于从无理数变到有理数的区间的每一个x，给x一个非零增量Δx，就有狄利克雷函数f(x)的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)=1-0=1。狄利克雷函数f(x)的增量与自变量的增量的比值Δy/Δx的最终形式是：F(x,Δx)=1/Δx。因此，根据现代泛系量子微积分求导数的方法-牛顿原始求导法，勒贝格导数=df/dx=F(x,Δx)|Δx=0 = +∞  (4) 

【附录】

连续不是除连续以外的任何现代泛系量子微积分存在的必要条件（修订版）

美国归侨冯向军博士

2018/9/8

  现代泛系量子微积分存在实质是：当自变量增量坍缩成非零时，不论这个非零有多大，都会引起某种变化。当自变量增量所引起的变化结束时，自变量增量必须坍缩成零。这时，所引起的变化的最终态就是现代泛系量子微积分存在的最终值。

  因此，实际上，现代泛系量子微积分存在只与自变量增量坍缩成零时的所引起的变化的最终态有关，而与中间过程并无直接关系。

  因此，一般来说，与函数的连续性或柯西无限逼近没有关系。

  连续不是除连续以外的任何现代泛系量子微积分存在的必要条件。

  无限逼近、极限、导数、微分、无穷小、无穷大、原函数、现代泛系量子积分、现代泛系量子微积分的勒贝格导数、现代泛系量子微积分的仿勒贝格积分、现代泛系量子微积分的量子勒贝格积分、勒贝格积分等等均不以连续或柯西无限逼近为必要条件。不过连续函数有很多特殊的性质而已。

  打个比方。人生必以死亡为其极限，但可以慢慢死去，也可以突然死去。由此可见连续不是极限存在的必要条件，柯西无限逼近不应与极限划等号。