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光学教学笔记之巧取豪夺 精选

已有 2025 次阅读 2019-11-12 09:25 |个人分类:大众物理学|系统分类:科普集锦


赵孟能贵之,赵孟能贱之。

 

光学超简单的,尤其是大学普通物理中的光学:不同波长的光之间没有相互作用,大家各干各的,最后归总一下就拉倒;相同波长、不同位置的光也没有什么合作,各搞各的光场振幅,只是最后需要把需要把光场振幅加起来求平方而已——花里胡哨的干涉现象背后,其实只是简单的光场振幅的线性叠加。

有了基尔霍夫衍射积分公式,光学衍射问题就太简单了,尤其是在计算机普及的今天:积分就是加法啊,加法谁不会做啊?当然,在基尔霍夫的时代,事情还不是这么容易,那时的科学家必须想出一些方法来简化问题。而到了今天,因为考试的时候不允许使用电脑,所以也只能教些、考些简单的东西——毕竟是不考不学嘛。

物理中最简单的情况是平面,在这个平面上,光场振幅的相位可能是:常数,完全不依赖于位置,对应于垂直入射的平面波(平行光);线性地依赖于位置,对应于倾斜入射的平行光;是位置的二次函数,对应于球面波(点状光源发出的光);其他更复杂的情况。平面波就是通常所说的夫琅禾费条件,球面波就是菲涅尔条件。课本里通常只讲这两种简单的情况,而夫琅禾费比菲涅尔还简单。为了得到能够用简单函数表示的解,通常还要做更多的近似。

比如说,圆孔和圆盘的衍射,就只讲对称轴上的光强分布,对称轴以外的,就只用对称性得到光强是径向分布的圆圈这个结论。在圆孔衍射时,衍射图案在对称轴上的强度分布,随着圆孔直径的增大而明暗交替地变化(如果圆孔直径不变,改变圆孔到衍射屏的距离,也有类似的效果)。在圆盘衍射时,对称轴上总是亮斑(泊松亮斑)。半波带法就是一种求解方法,具体细节可以看任何一本光学教材。

半波带法把透光部分划分为一系列的环带:每个环带内的各点到衍射屏中心位置的距离都相差不过半个波长,光场振幅因而具有相同的符号,可以相长干涉;相邻环带的光程差是半个波长,因而是相消干涉。利用三角形的余弦定理(勾股定理是其特殊形式),可以证明,每个环带贡献的光场振幅的大小是个常数,而相邻环带的符号是相反的。如果把符号为负的环带都挡住、不让光通过,只留下符号为正的环带、让光通过,就构成了“菲涅尔波带片”,能够像凸透镜一样把光聚焦到一个点上(焦点,焦距为$f$)。更仔细地分析就会发现,还存在其他焦点(次焦点),焦距为$\pm f/(2k+1)$(其中$k$是整数,负号表示虚焦点,类似于凹透镜)。

菲涅尔波带片采用的是蛮力方法,浪费了一半的光。如果想办法在符号为负的半波带处,让光经历一个额外的相位$\pi$(现代的微细加工技术能够做到这一点),就可以把另一半光也利用上了,焦点处的光强也就增大为大约4倍。

位于焦点的点光源发出的光是球面波,经过凸透镜后变为平行光(平面波),就满足夫琅禾费条件了,这种情况下的单缝衍射很简单,有简单的解析解(具体形式类似于$\sin x/x$)。方孔和矩形孔的衍射也很简单,因为它们相当于两个相互垂直的狭缝相乘的结果。圆孔衍射的对称性更高,得到的光场振幅也是幅度逐渐减小、符号正负振荡的形式,但是其表达式需要用到特殊函数(贝塞尔函数)。其实不管什么样的孔,衍射结果都是类似的,第一个极小值出现的位置也都在$\lambda/d$,孔的具体形状只是影响了系数的大小,例如,圆孔的系数是1.22,而方孔是1

多缝衍射也很简单,因为多缝是周期性的结构。每个单元对光场的影响确定了以后(相当于单缝衍射),多个周期的总效果只需要用到等比级数的求和公式(多光束干涉)。光栅可以把不同颜色的光分开,其组成单元比多缝稍微复杂一些(多缝也是一种光栅,每个单元里的透射率非0即1),主要是为了避免光的单缝衍射零级和缝间干涉的零级重叠。恰当地选择光栅的参数,可以让缝间干涉的零级位于单缝衍射的极小值位置,而干涉的一级位于单缝衍射的零级极大值附近,从而显著地提高其分离波长的本领。

光场振幅是复数,既有大小也有相位。同样,光栅不仅可以调制振幅(黑白光栅),也可以调制相位(比如说正弦光栅)。不仅可以一维调制,还可以二维调制,甚至可以进行三维调制:晶体的X射线衍射就是一个例子,现在非常热门的光子晶体是另一个例子。

随着现代材料和加工技术的发展,已经可以做到任意位置的相位调制,比如说液晶阵列构成的波前调制器,改变每个液晶单元的控制参数,就可以改变通过它的光场的振幅和相位,从而得到你想要的任何衍射图样——只需要再来一个反馈算法就可以了,因为反馈算法是标准的权术:顺我者昌,逆我者亡。只要赏罚二柄在手,不愁你光场振幅不听我的话。

 

光学笔记很讨厌:如果只讲原理,不用图和公式,很快就没有什么可讲的了;如果用图和公式,又太麻烦了,讲得人心情烦躁。算了,反正也没人要求,以后我还是想到哪里就扯到哪里吧。




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