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光学教学笔记之独自莫凭栏 精选

已有 3214 次阅读 2019-11-12 16:38 |个人分类:大众物理学|系统分类:科普集锦


 

 

把吴钩看了,栏杆拍遍。

 

 

光栅是常用的光学器件,具有周期性的结构。栅(shān),就是栅栏(zhà lan,讨厌的多音字,还有北京的大栅栏dà shír lànr),就是一排栏杆。以前的篱笆也是,但是间距不那么整齐;现代化工业生产的各种栏杆,间距都是整整齐齐的;光栅就更厉害了,整齐度要用光的波长来衡量。

把两排间距略有差别的栏杆放在一起,就会看到总的效果是有密有疏(类似于游标卡尺),有些地方靠的近一些,有些地方远一点。从远处看天桥的两排栏杆也有这个效果,虽然它们的间距相同,但是到你的距离不一样,所以视张角就略有差异。把两片窗纱叠起来,也有类似的效果。这就是所谓的“莫里条纹”。类似的现象还多得很,比如说,把两层石墨烯(石墨原子单层)叠在一起、略微错一个角度,就可以得到这几年特别火的“魔角石墨烯”材料,据说对研究超导机制很有帮助。

光栅的作用很好理解,特别是在夫琅禾费条件下:平行光入射,就有平行光出射,不同的干涉级对应于相邻单元提供的光程差是波长的不同整数倍。不同的干涉级$k$对应于不同的出射角度$\theta \propto k/L$,其中$L$是光栅的周期。点光源发射的光,需要用凸透镜变成平行光,而平行光不好观察,需要在用一个凸透镜把它们聚焦,这样一来,光栅就变成了另一个光栅。显然,这两个光栅的周期互为倒数(除了一个依赖于光学系统参数的系数以外)。这就是傅里叶光学的要义。把第二个光栅再做一次操作,就得到第三个光栅,后两个光栅的周期同样互为倒数。所以,第一个光栅的周期就等于第三个光栅(仍然有可能相差一个系数)。这就是全息光学的要义。

 

为什么说光栅是傅里叶光学和全息光学的要义呢?我们换种说法再讲一遍。基尔霍夫衍射积分公式告诉我们,对于光学成像来说,整体等于部分之和。因此我们处理光学问题的一个方法就是,把复杂的物体划分为尽可能简单的部分——光栅就是最简单的组分。任意函数都可以分解为一组“正交的”正弦函数和余弦函数(“傅里叶分解”),任意物体(在光学中,就是某个平面上的光场振幅和相位)也可以分解为一组光栅,因为每个光栅的效果是容易知道的,它们的整体结果就是简单的求和:当然是光场振幅的求和,而不是光场强度。

这也是个函数逼近的问题:如何用一组已知的函数来尽可能准确地表示(也就是“逼近”)一个任意的函数。泰勒展开是一种方法,傅里叶变换是另一种方法。简单描述一下。

在某个范围里给出一个函数(光场分布),那么它的平均值就是最基本的一个参数,求出其平均值,就是傅里叶变换的常数项了。

这个函数减掉平均值以后,一定是有正有负的,最简单的有正有负的函数就是正弦和余弦,而且它们的周期等于刚才给出的函数范围(“某个范围”),否则正负就不均衡了。把这个函数跟正弦和余弦分别求积分,就得到了一阶的傅里叶变换系数,这些系数表明,函数与一个周期的正弦和余弦有多么的接近。

把这个函数减去一阶的正弦项和余弦项,剩下来的部分最多只能跟二周期(在此范围内有两个周期)的正弦和余弦函数相近了。同样用求积分的方法得到相应的二阶的傅里叶变换系数,它们衡量了该函数与两个周期的正弦和余弦有多么的接近。

由此递推得到更高阶的傅里叶变换系数。

显然,在同样大小的空间范围内,周期数越多,光栅就越密(周期间隔越小),“空间频率”越大。这里的空间频率是时间频率的类比物:在时域里,周期跟频率是成反比关系的。

 

有了这些认识,就容易理解阿贝(E. Abbe)成像原理了。

著名的“$4f$系统”由两个焦距$f$相同的透镜构成:焦点(物平面)到第一个透镜的距离是$f$,两个透镜之间的距离是$2f$,第二个透镜到其焦点(像平面)的距离也是$f$。在这个系统里,物平面的点光源(平行光)变成了像平面的点像(平行光)。

几何光学对光学成像的解读是,物体有许多点光源组成,每个点光源经过光学系统后形成一个点像,所有的点像构成了物体的像。阿贝把物体视为一个整体,平行光经过它后发生夫琅禾费衍射,在透镜的后焦面上形成衍射图案,然后,这个衍射图案的每一点再作为相干的次光源,它们发出的次波相干叠加,在像平面上形成了物体的像。这是一个不同的视角,但是有着强大的解释能力,并且为提高光学系统的质量有着重大的指导意义。

一般物体的夫琅禾费衍射图案是很复杂的,但是光栅的衍射结果很简单。前面说过,光栅对平行光的作用是很明确的。对于垂直于光轴的光栅来说,零级干涉在光轴上,干涉的级次越高,偏离光轴就越远。不同的干涉级次,在空间的位置是不一样的。这样就解释了光学系统的分辨本领为什么依赖于它的通光口径,因为有限的通光口径阻止了空间频率的高频成分参与成像,从而丢失了物体的细节,降低了像的质量。

理解了这一点,还可以根据需要对各个级次的干涉结果进行调节甚至消除:这就是“空间滤波”。课本中说的“纹影法”,就是用刀片把零级和负一级挡住,只留下正一级的干涉;马雷夏尔改善像质的方法,就是减少空间频率的低频部分的透过率,使得原本模糊的相片细节突出出来,因为所谓的“细节”就是空间变化很快的地方,对应于空间频率很大的高频部分;“相衬法”则是给零级的空间频率部分提供一个额外的相位$\pi/2$,使之与一级的部分发生干涉。

 

上面是把物体视为一组光栅的组合,然后从阿贝原理来考虑其成像。有时候,这些光栅本身不是物体,而是物体反射(或透射)的光与一个参考光束(通常是激光)形成的光栅,这个光栅里包含了物的信息,再用一束激光照射它,就可以再干涉级里恢复物的信息(也就是“全息像”)。书上说得已经很好了,我就不重复了。

还没有提到的本章内容包括“特征识别”和“伪彩色编码”,但我不想讲了,因为其中一个太简单,而另一个已经过时了:特征识别,说的就是频率空间比实空间更有利于识别特征,特征其实就是周期;用计算机把灰度图变成伪彩色图,比光学方法简单一万倍。

所以,就到这里吧。




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