人人事后诸葛亮，哪个潮前牛必顿。

坐地日行八万里，巡天遥看一河星。

地球在自转，还绕着太阳公转，同时还有个月亮绕着地球转。地球自转的周期是1天，绕太阳公转的周期是1年（365天），月亮绕地球一圈是1月（阴历月，29天）。牛顿由此而得到很多信息，如地球的形状、太阳和月亮对潮水高度的贡献乃至岁差的大小——这些都是《自然哲学的数学原理》中的重要内容，奠定了牛顿在历史上的崇高地位。

为了简单起见，牛顿把地球视为密度为$\rho$的流体，自转的速度为$\omega$。

长期地看，地球的各个部分一定处于受力平衡的状态。如果没有自转，地球当然是个完美的球体，否则，各个方向朝着球心的压力必然不同。转动的地球有个特殊的方向，就是自转轴的方向（南北方向），赤道面与之垂直。南北方向的地球半径$r_1$和赤道面内的地球半径$r_2$不一样（分别为上图中的蓝色部分和红色部分），因为赤道面内有离心力的作用。地心处压力相等意味着，

$\rho (r_2-r_1) g = \int ^{r_2} _0  dr \rho \omega ^2 r$

其中，$g$是地球表面的重力加速度。左边是二者的高度差导致的重力差，右边是赤道半径内感受到的离心力。由此可知

$\Delta h=r_2-r_1 = \frac{\omega ^2 r_2} {2g} r_2 \approx 2.7 \times 10^{-3} r_2$

也就是说，赤道半径与极半径的差别大约是17公里（牛顿得到的数值是19公里）。现在实际测量的数据是21公里（6378公里和6357公里）。

用类似的方法可以得到，纬度为$\theta$处的偏差为$17\cos \theta$公里。换句话说，地球这个$r=r_0(1+0.0027\cos \theta) \approx \frac{r_0}{1-0.0027\cos \theta}$这个曲线绕着地球自转轴旋转而成的。这是一个旋转椭球体。

潮汐来自于太阳和月亮的引力，下面简单计算二者贡献的比值。

以太阳为例。地球绕太阳公转的半径为$R$、角速度为$\omega$，地球半径为$r$，太阳和地球的质量为$M_s$和$M_e$，万有引力常数为$G$。圆周运动的向心力来自于太阳引力，$GM_sM_e/R^2=M_e \omega ^2 R$，这个公式是对地球球心而言的。因为地球不是一个质点，对于同一个质量块$m$，在地球轨道内外受到的引力是有差别，地球最内侧和最外侧的引力差别为$\propto 2\frac{GM_sm}{R^2}\frac{r}{R} \propto 2m \omega ^2 r$。进一步考虑离心力的差别，内侧离心力小，外侧离心力大。最后，内外侧合力的差别就是$\pm 3 m \omega  ^2 r$。

同样可以考虑月亮的影响。得到的结果是，内外侧合力的差别是$\pm \frac{M_m}{M_e} 3 m \Omega ^2 r$。其中，$M_m$是月亮的质量，而$\Omega $是月球公转周期。

太阳和月亮的引力差的比值就是$\frac{M_e}{M_m}\frac{\omega ^2}{\Omega ^2} $，大约是1:2.2。

这样算得有点绕。其实，直接用万有引力公式算，更简单，比值的结果是一样的。牛顿根据当时英国测量的潮水高度，推算的比值是1:4.5，导致其得到的月球密度与地球密度的比值与现在的数值相差很大。

太阳和月亮对地球上物体的引力差的比值是1:2.2，但是，更重要的是，这个引力差与地球引力的比值。简单的计算表明，太阳引力差和地球重力加速度的比值是$3\frac{M_s}{M_e}\frac{r}{R}\cos \theta \approx 7.8 \times 10^{-8} \cos \theta$，其中，$\theta$是具体位置所在的大圆与黄道面的夹角）。这个比值非常小，足以形成潮汐吗？

我们可以用“平衡潮理论”来估计。假设地球是个无自转的完美球体，表面覆盖着水。那么，太阳引力差导致的水面高度差就是 $\frac{1}{2} \times 7.8 \times10^{-8} \cos \theta r =g \Delta h}，其中，左边是引力差做的功，右边是重力做的功：引力差作用在很大的范围上（千公里的量级），而重力做功是局域的范围（米的量级）。由此可知，太阳引力差导致的潮汐的高度差为$\Delta h \approx 0.25\cos \theta $（米）。月亮导致的潮汐高度差是太阳的2.2倍，即$0.55 \cos \theta $（米）。

当太阳和月亮大致共线的时候（这就是阴历的朔望之时，晚上完全看不到月亮或者是看到满月的时候），二者导致的潮汐达到最大值，高度差大约是0.8米。这就是通常所说的“大潮”。因为地球轨道和月球轨道不是完美的圆形，而是有大约5%的扁率，运气好的时候（太阳和月亮都碰巧处于离地球最近的位置），潮水还会再高一些。

但是，不管怎么说，1米这个高度还是有些低，比我们听说的潮水高度低得多（比如说，钱塘江大潮）。原因在于，刚才的计算结果适用于广阔无垠的水面（千公里的量级），而钱塘江潮发生在入海口，很多海水汇入狭窄的河道。

另外，潮水的高低还和风有关，这些都是没有考虑的因素。台风来临的时候，海面上几米、几十米高的浪头司空见惯，但是，这些都跟太阳、月亮的引力差没有关系。

牛顿坐在家里，就可以知道地球的形状和潮水的高度，当然很了不起，但是，与他关于岁差的计算工作相比，就是小巫见大巫了。牛顿是怎么计算岁差的？我们下次再说。