大鹏一日同风起，扶摇直上九万里

讲完了质点、刚体、静流体，终于可以谈谈流体的运动学和动力学了。不过大家也不要高兴得太早，流体力学太难了——据说，物理学巨擘海森堡有两个问题要问上帝：一个是量子力学的完备性，另一个就是湍流。上帝的回答是：第一个问题，可以去问佛陀；第二个问题，三清也不会！

值得欣慰的是，大学普通物理不讲这么困难的问题。但是我们还要赶场，所以，快上车，没时间解释了！

虽然说，一滴水中看世界，但是，为了描述流体的运动状态，你可不能只看一滴水，你的任务是描述每一滴水的位置和运动速度。还记得吧，力学就是研究物体的位置和运动速度，因为我们唯一的工具就是牛顿第二运动定律$F=ma$。这个任务很困难，可是拉格朗日就是这么做的——流体运动的拉格朗日表述法，每个水滴的运动轨道就是“迹线”，同一水滴的迹线可以与自己交叉，不同水滴的迹线也可以相互交叉。

原则上说，拉格朗日表述法可以研究流体力学，但是这种方法太烦人了，太多水滴我跟不上啊。更关键的是，你这不就是随波逐流吗？虽然有渔父认为：“举世混浊，何不随其流而扬其波？”但是屈原反对：“吾闻之，新沐者必弹冠，新浴者必振衣，人又谁能以身之察察，受物之汶汶者乎！”所以，政治正确的欧拉就出场了，他采用了“守株待兔”的先进经验，面对着一条大河波浪宽，欧拉关心的不再是每滴水的位置和速度，而是这条大河里每个具体位置上的速度——也就是说，流体区域里速度的空间分布及其随时间的变化。欧拉表述法的最大优点是引入了“流线”，该曲线在任何一点的切线方向就是该处的流体速度。显然，流线不会相交，因为任何一点的速度是唯一的。流线又可以围成“流管”。流线和流管在流体力学中有着非常重要的位置。可以说，流体力学研究的就是这个流场或者速度场的空间分布及其随时间的变化。而力学最关心的加速度的空间分布，也可以由速度场直接得到。

需要注意的是：欧拉可以“笑看涛生云灭”，当然比“随波逐流”的拉格朗日逍遥多了，但是，这两种方法其实是等价的。因为二者本出一源，正所谓：风动、幡动，无非心动；此法、彼法，都是佛法。

好了，有了欧拉表述法，我们可以继续前进了。

首先，来个简单的问题：质量守恒和连续性方程。考虑一个空间封闭区域，因为物质是不灭的，所以，流进去的减去流出来的，就是该区域里增加的。流入和流出涉及到区间的表面，所以是个二维积分；因为速度是矢量，表面微元也是矢量（面积大小和法线方向），所以这个二维积分涉及了两个矢量的“点积”。物质量的增减反映的是区间内的全部信息，所以是个三维积分；密度是个标量，体积也是标量，所以这就是简单的三维积分。“物质不灭”就要求这两个积分相等，这就是连续性方程的积分形式。为了表示为微分形式，需要把二维积分转化为三维积分（这里应用了“散度定理”，其实就是高斯定理在物理中的应用）。如果我们考虑的是不可压缩流体，也就是说，密度不随时间和空间而变化，那么显然，无论二维积分还是三维积分，都应该是零，换个不那么雅致的说法，就是消化不良——吃多少拉多少，没有增量。

不可压缩性对水来说是容易让人接受的，但是，你说空气也不可以压缩，好像有些违反常识——但这是有道理的：我们考虑的流体力学问题并不是往气球里吹气，而是在一个相对开放的空间里流动，所以，只要空气的运动速度远小于声音在空气中的传播速度（马赫数$v/v_s \ll 1$），空气就可以被看作是不可压缩流体。

不可压缩性简化了流体问题，但是还不够，我们需要考虑一个更加简单的问题：定常流动，也就是说，流体速度场不依赖于时间——空间的流线分布与时间无关。这是一个非常有力的简化，孔夫子对此赞不绝口，“逝者如斯夫，不舍昼夜！”屈原也是情有独钟，“宁赴常流而葬乎江鱼腹中耳！”

最简单的定常流动，就是理想流体的定常流动。什么是理想流体？仅仅是不可压缩还不够，你还不能拖拖拉拉，每个流体微元都要有独立性，既不拉帮带，也不拖后腿，爱咋咋！这就叫作没有“黏性”。对于这么有理想、不缠人的流体，问题当然就简单多了——我们熟悉的动量定理和功能关系还可以派上用场。

对于理想流体的定常流动来说，在空间任何一个位置上，就只有这么几个参数：该点的压强（标量，相当于1个变量）和速度（矢量，相当于3个变量），还要加上该点的高度（也是标量），因为有地球重力的影响。所以，不同位置的速度差（严格地说，是动量差），就依赖于压强差（因为动量依赖于冲量，而冲量里的力就来自于这个压强差），当然，你必须考虑到流量变化带来的影响——流管没有理由一定是到处都是一般粗的。这个定理除了让你体会“大风起兮云飞扬”的魅力，还有更大的威力——漫说你嘴炮无敌，且看我高压水枪！。

同样沿用流管的概念，就可以导出理想流体的功能关系。因为他不缠人，所以，就没有损耗，机械能就守恒，这样我们就得到了著名的伯努利原理：$p+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh$保持不变。利用伯努利原理，你就可以解释乒乓球漂浮在喷气嘴上方的道理，明白喷雾器的原理。至于说，高铁线路为什么不能靠得太近？平行航行的大船为什么有相撞的危险？当水压不够的时候，为什么楼下放水、你家就断流？这些怪事，统统都是伯努利同志背锅！

梁园虽好，不是久居之乡！世上没有乌托邦，流体也绝非理想。对于流体的性质，大侠金庸就有着深刻的认识：“只要有人的地方就有恩怨，有恩怨就会有江湖，人就是江湖。”江河湖海里面装的是什么？都是流体啊！它们生来是爱拉拉扯扯，黏性就是天性，管不住的呀哥哥！所以呢，我们要正视现实，必须考虑粘滞力——它依赖于速度分布的空间变化率。为了进行定量分析，引入了“黏性系数”$\eta$，还把粘滞力的最简单的近似形式（线性近似）称为“粘滞定律”。

有了黏性系数和黏滞定律，就可以把流动分为层流和湍流，还引入了无量纲的雷诺数$Re=\rho v r/\eta$，可以用来表征从层流到湍流的转变：一般来说，$Re$越大，越容易形成湍流。

“如临深渊，如履薄冰”。湍流太难了，我们还是躲开它、挑个软柿子捏吧！当雷诺数较小的时候，黏性流体的流动是层流，圆形管子里的层流是最容易分析的，管子两端的压强差=管子对其中液体施加的粘滞力——然后就可以得到“泊肃叶公式”。注意，这里的管子不一定是真实的水管，同样可以是流线围成的流管。有了泊肃叶公式，你就可以去唬人了：都知道管子越粗、阻力越小，可是谁知道这里面的科学科、物理物呢？

然后，你还可以把粘滞力考虑进来，把伯努利原理修订为“类伯努利方程”，其实就是让粘滞力扮演了以前摩擦力的角色，“太阳底下没有稀奇事!”这还不算完，只要你高兴，分析什么物体在流体中运动时受到的粘性阻力、纵向压差阻力和横向压差阻力，也都根本就不算什么事儿！小到乒乓球里的旋转球、足球里的香蕉球，大到气垫船“里海怪物”横行海上、喷气飞机翱翔蓝天，甚至香消玉殒的协和式、壮志未酬的挑战者，也都一样可以忽悠！有一天，你还会发现，自己小时候喜欢玩的打水漂，竟然启发了英国人用炸弹冲击水坝，甚至有可能启发钱学森提出了他那著名的弹道——钱学森弹道。呵呵，东风快递，使命必达！

好了，这就是大学普通物理中关于流体力学的全部内容了。

虽然我讲得口沫横飞、心潮澎湃，但是，房间里的空气污浊不堪，听众们昏昏欲睡。我这是在干什么呢？风从哪里来？我到哪里去？忽然间，我想到了宗悫，心头一片茫然。

愿乘长风，破万里浪

后记：

教书客每读《二十世纪物理学》至第十章《流体力学》，未尝不废书而叹曰：大学普通物理关于流体力学的内容太少了、也太老了，基本上都还停留在一百年以前——涡流、湍流，一带而过；边界层、摄动分析，提都不提。

再读第一章《1900年的物理学》，又爽然自失矣：我们现在物理考题的难度，甚至比不上100多年前的剑桥考试。

呜呼！飞机上天，考题落地，岂不悲乎？

与朱元思书

吴均

风烟俱净，天山共色。从流飘荡，任意东西。自富阳至桐庐一百许里，奇山异水，天下独绝。

水皆缥碧，千丈见底。游鱼细石，直视无碍。急湍甚箭，猛浪若奔。

夹岸高山，皆生寒树，负势竞上，互相轩邈，争高直指，千百成峰。泉水激石，泠泠作响；好鸟相鸣，嘤嘤成韵。蝉则千转不穷，猿则百叫无绝。鸢飞戾天者，望峰息心；经纶世务者，窥谷忘反。横柯上蔽，在昼犹昏；疏条交映，有时见日。