引子：1915年11月18日柏林，爱因斯坦成功的计算出水星近日点进动的异常值43秒，他激动万分，迫不及待的给朋友写信道：“方程给出了进动的正确数字，你可以想象我有多高兴，有好些天，我高兴得不知怎样才好。”

                                          图1：爱因斯坦

现在已经记不清到底是2000年高中，还是2001年大学，第一次读到爱因斯坦写给朋友的那句话。毕竟已经太过久远，久远得忘却了模糊的记忆。但是在笔者有限的回忆里，很可能就是这句话让自己树立了成为物理学家的理想。笔者那时候在想，要是自己也能够发现一个基本物理方程，并且亲自用它算出与现实观测吻合的物理现象该有多好啊。爱因斯坦利用自己的引力场方程算出水星近日点反常进动值的那一刻，他的内心该有多快乐啊？

笔者很想感受一下这种快乐。可惜的是，事与愿违。最终笔者并未能如愿进入物理系，而是进入了经济系。不过，发现一个物理方程却始终成为笔者内心深处挥之不去的一股执念。爱因斯坦也许永远不会知道，100年的轮回，在遥远东方的一个中国古镇上，曾经有一位少年默默的仰望过他在星空中所留下的足迹。

笔者深深的知道，在中国的大地上，曾经（和现在）有着许许多多与我一样怀抱着物理梦想的少年。当年，他们都与笔者一样，在这片神州大地之上仰望着同一片星空，憧憬着同一个梦想。他们初升如旭日之朝阳，没有沾染人世间的浮华，立志高远于人类之文野。每一位少年的故事，不为人知的背后都是感动。

                                                             图2：少年仰望星空

从2001年到2015年，数不清的日夜，在数学与物理的书籍与论文中徜徉。从量子力学领域到统计物理领域，从统计物理领域到粒子物理领域，从粒子物理领域到宇宙学领域，从宇宙学领域到凝聚态领域……不断的在各个物理领域中徘徊，觊觎20世纪物理学黄金时代的前人是否还落下点什么“珍宝”，希望能从中找到那么一丝的契机或者机缘。但是，发现一个物理方程，谈何容易。现代物理学是如此的完善与高度系统化，以至于它的每一个小分支都足以耗尽一个人一生的精力。到此，笔者也开始理解物理学家朗道（Landau）为什么会对错过了物理学的黄金时代而耿耿于怀。等到2015年的时候，尽管已经发表了一些原创论文，但是笔者内心深处却很清楚，里面没有自己想要的物理方程。而2016年的到来，预示着笔者已即将跨入35岁，创造力的巅峰已经过去。望洋兴叹的感觉随之而来：哎，物理终究是放弃了我。

岁月无情催人老，少年梦醒繁花落。

尽管星空仍旧还是那片星空，但是少年却已不再是少年。

                                                             图3：青年人仰望星空

自2015年开始，笔者对于找到一个基本物理方程已不再抱有什么希望，而是开始尝试能否发现一个“小小定律”。毕竟这么多年对物理的追求，到头来，总想留下点什么，哪怕一个不起眼的唯象定律也行。于是笔者转向了最不可能发现基本物理方程的领域——凝聚态物理。有点尴尬的是，这个领域正是由感叹错过20世纪黄金时代的物理学家朗道（Landau）所开创。这个领域里最好的模型可能是BCS超导模型，最好的方程也许是金兹堡-朗道方程，但无一例外的都是唯象理论。像麦克斯韦电磁方程、爱因斯坦引力场方程、狄拉克方程这样的相对论基本物理方程，从未出现在凝聚态物理中。但随着近几十年来实验方面的进展，在凝聚态物理中发现一些唯象定律或者唯象方程的可能性却大大增加，这是笔者最后选择凝聚态物理的原因。

一番探索之后，2016年3月31日笔者在Scientific Reports发表了一篇研究高温超导的论文[1]，其中发现了一个唯象的“小小定律”——抛物标度。

发现小小定律的故事可见2016年初的科学网博文：《让科研回归本真的快乐：费曼先生，现在我信了》。

终于，在追寻物理学的第十六个年头之后，仿佛上天也动了恻隐之心。就在同一年，美国布鲁克海文国家实验室的Bozovic教授所领导的小组利用十三年的时间测试了2000多个LSCO超导薄膜样本之后，发表了一个相同的实验抛物标度[2]：

他们小组的论文于2016年8月18日发表在Nature [2]。这个故事可见2016年末的科学网博文《“小小定律”出师大捷：来自美国布鲁克海文国家实验室的喜讯》

为了确认Bozovic小组的实验结果是不是验证了自己的抛物标度（1），笔者对自己论文[1]中的唯象模型进行了深入的研究。2016年12月的一天，当笔者把重整化群计算到二阶微扰之后，一道灵光突然闪现：将论文[1]中的唯象模型进行一些修改就能得到一个不再含有任何唯象参数的相对论方程：

方程（3）于2017年8月18日被笔者发表在Europhysics Letters [3]，它的静态解是:

方程（4）正是笔者之前在论文[1]中所发现的抛物标度（1）。但与结果（1）所不同的是，现在方程（4）已经给出了抛物标度中系数r的精确函数表达式，从而不再是一个唯象定律。

不过一开始，笔者并没有在意自己发现的方程（3）。原因在于笔者不会计算方程（4）中的系数值r，因此没能把这个系数的理论值与实验值4.2进行比较。对于物理学界的朋友来说，笔者所遭遇的困境可能是一个巨大的笑话：在自然单位制下，怎么可能计算不了这样简单的物理量？

但是，这个笑话的背后，是笔者对于那些有幸能够进入物理系学习的朋友的深深羡慕。

由于无法进入物理系学习，笔者所掌握的物理学知识全部都是自学的。没有老师来教和引导，从而在自己挑选物理教材的时候，想当然的不把《量纲分析》纳入学习计划——年少时的我曾天真的认为这是实验物理学家学习的内容。笔者自学的数学物理内容可见科学网博文《对于学习者的建议》，里面没有《量纲分析》。这种想当然的不去学《量纲分析》，其实大错特错！结果就是，由于缺乏对自然单位制的了解，笔者根本不知道方程（4）中的系数r应该如何算，当然就更无法将其与实验结果4.2进行精确比较了。

事情的转机出现在2018年，当时国际上有2个物理组利用唯象的d波超导模型[4]和s波超导模型[5]分别导出了Bozovic组发现的抛物标度。由于d波超导模型和s波超导模型非常出名，其中一个组的人开始批评笔者的论文[3]。而要想在这样的国际竞争中脱颖而出，只有一个办法：那就是证明你的理论在数量上是对的，即能否给出系数r的实验值4.2。d波超导模型和s波超导模型是货真价实的唯象理论，只能做多参数的数值拟合，因此这样的理论是没有办法给出系数r的理论值的。不过，这两个模型在超导界实在是太过出名，另外的理论如果只停留在定性层面，而不能在定量上胜过它们，将很难得到学术共同体的承认，从而难以在国际主流物理杂志发表后续工作。这促使笔者不得不开始考虑计算出系数r的理论值。

2018年5月来到苏黎世访学之后，由于没有教学任务，自由支配的时间比较充裕，借此机会有时间系统的学习自然单位制，自己来把r算出来再说。为了计算r，需要知道普朗克常数、光速、玻尔兹曼常数、电子静止质量、LSCO晶格常数、LSCO费米能量等物理参数值[6]:

一番功夫之后，终于搜集到以上这些常数，现在万事俱备。

2018年9月19日，当笔者将这一大堆天文数字代入到方程（4）中的r之后，惊人的一幕发生了：所有的天文数字开始相互抵消，最后的结果是4.2！我的天！

当4.2这个数字跳出来的那一刹那，心似乎也随之跳了出来。现在，笔者很难用任何的语言来形容当时的心境：震惊，紧张，狂喜，难以置信，超脱……如果我没有猜错，爱因斯坦1915年计算出水星近日点反常进动值43秒的那一刻，体验到的或许正是类似的心境。

这种心境持续了几天，待到心情平复之后，笔者才开始反问自己：将物理学中的所有自然常数进行随机组合后产生4.2的概率有多大？答案毫无疑问是0！笔者碰到了一次零概率事件。

这意味着什么？

方程（3）没有任何唯象参数，现在它的解又与实验结果高精度吻合，难道会是一个我曾经梦想的相对论方程不成？

怀着激动的心情，笔者再次利用格林函数方法从BCS理论出发重新推导一次方程（3）。由于只有费米面附近的电子才会参与结成库珀对，所以整个计算因为费米面的特殊性而得到极大的简化，从而导致方程系数对于任意空间维度都是成立的。另外，由于温度处于绝对零度，虚时间涌现出来，从而导致方程（3）是一个相对论方程。本来，在平衡态统计物理系统中是没有时间的，所以无从谈及相对论方程。但是当物理系统处于绝对零度时，量子涨落开始占据主导。对于量子涨落，能量和时间必须服从海森堡不确定性关系，所以能量的涨落促使虚时间出现，并最终导致相对论方程，这对笔者是始料未及的事情。

像麦克斯韦电磁方程、爱因斯坦引力场方程、狄拉克方程那样，方程（3）居然是一个相对论方程。如此一来，方程（3）精确的描述库珀电子对的量子临界行为，就像狄拉克方程精确的描述电子的量子行为一样。两者都是相对论方程，并且没有任何唯象参数，各自的解都与实验结果高精度吻合！

原来方程（3）居然是一个精确的相对论方程啊！而这正是笔者近20年来孜孜以求，魂牵梦绕想要找出的那个梦啊！想不到，尽管物理学的黄金时代已经逝去，但是这个世间仍遗留着物理方程等待着有心人去发现！

由于理论值与实验值的高精度吻合，笔者的结果（5）于2019年6月19日发表在Journal of Superconductivity and Novel Magnetism [6]。

对于1915年爱因斯坦计算出的水星反常进动值43秒，《爱因斯坦传》的作者物理学家派斯（Abraham Pais）不无羡慕的感叹道：“我相信，这一发现是爱因斯坦科学生涯中，或者也许是他一生中最激动人心的。大自然已经对他说了，他肯定是对的！”。

是的，对于物理学家来说，大自然的肯定才是真正的肯定。

到此，笔者终于感受到了爱因斯坦100年前所收到的那份来自大自然所赠予的快乐。

尾声：

近20年的一股执念，当这个念头终于实现的时候，才恍然醒悟20载已经过去，家乡的景物变了，周围的人变老了，自己也老了。回想起当年的80后少年们，青春岁月，激情澎湃，都一去不复返了。笔者因为爱因斯坦而燃起了对物理的梦想，从而伴随了近20年的执念，了却这个念头却是在2018年来到苏黎世联邦理工学院，不免感叹仿若冥冥中早有因果——从哪里开始，在哪里结束。

既然执念已去，便提前结束了在苏黎世的访学，现在终于可以回归到正常的生活轨道了。

哎，就以此文纪念我已经逝去的青春吧。

                                                                       2019年7月别离苏黎世 回国前夕

参考文献：

[1]. Y. Tao, Scaling Laws for Thin Films near the Superconducting-to-Insulating Transition. Scientific Reports 6 (2016) 23863

[2]. I. Bozovic. et al., Dependence of the critical temperature in overdoped copper oxides on superfluid density. Nature 536 (2016) 309

[3]. Y. Tao, BCS quantum critical phenomena. Europhysics Letters 118 (2017) 57007

[4]. N. R. Lee-Hone, et al. Disorder and superfluid density in overdoped cuprate superconductors, Phys. Rev. B 96, 024501 (2017)

[5]. F. Herman, and R. Hlubina, Thermodynamic properties of Dynes superconductors. Phys. Rev. B 97, 014517 (2018)

[6]. Y. Tao, Parabolic Scaling in Overdoped Cuprate Films. Journal of Superconductivity and Novel Magnetism (2019). https://doi.org/10.1007/s10948-019-05179-5