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微积分小卡片 精选

已有 5132 次阅读 2017-5-12 13:40 |个人分类:微积分|系统分类:科普集锦|关键词:微积分小卡片


微积分速写

林群(linq@lsec.cc.ac.cn

   宗旨  微积分:定理太多、证明太长,代之以一条定理(基本定理)加几行证明。

   前言  微分已进入高中,于是已经有了导数的定义,包括一些简单的极限计算。何不接过接力棒:由高中的导数定义,顺手推舟,不超过四行,引出积分的计算与基本定理,使高中微积分完备化(即不止有微分,而且有积分以及微分与积分的关系)。

   小学版(知其然

   娃娃是一张白纸,听得进新东西。长大了杂念多了,反而难听进。所以微积分要从娃娃抓起。深圳华富小学四年生实验:背口诀

余弦cos的面积 = sin的高, ....

   解释:基本定理是什么?那就是:曲线(例如cos)下的面积怎样计算

  传统方法:以直代曲,由一系列长方形来覆盖,但无论你用了多少个长方形,永远达不到精准值永远盖不满,小学生也明白).所以它不能作为精准的计算方法,只能作为曲线下的面积定义(如果精准值存在)


微积分方法:意外,根据以上的面积定义,居然对应着一个精准值,那就是另一条曲线(sin)的高. 简直异想天开.  为什么?见下面高中版

欲知为什么,须知三角公式。初中未学到,耐心等。

先睹为快(有点急功近利),跳到高中版(随后才回到初中版)

高中版(知其所以然)

 为什么有基本定理:cos的面积 = sin的高?

 先将sin的定义区间等分为许多小区间,长为θ

再求在两个节点上的高度差(又称小高)

其中取分点间的中值,故称中值公式

(三角恒等式没商量,后面张景中有两行的证明. 再在所有节点上相加,便得在两头,b与a,的高度差(又称全高)

(还是恒等式). 右边第一个因子→1当θ→0(见三角不等式 ,当θ→0左边1)第二个求和θ→0就定义为曲线下的面积(见上左图也称的积分面积或积分的定义就在于此,慢慢体会. 结果,一石二鸟,得出面积以及基本定理求高)

总共论证也不过四行(包括三角恒等式张景中的两行证明,也不过六行,虽然每行 都得解释),所以透明如镜!                    

立下写书行规:超过四行的证明不进教科书(理想之例:是无理数的证明)            

  对称地,将 cos 下的面积 = sin的高,换成sin下的面积 = cos的高:先求 cos 的小高

     (取中值,故称中值公式

再变成全高:

         

     

总共论证也不过四行(虽然每行都得解释),透明如镜!

重复写书的行规:超过四行的证明不进教材(理想之例:是无理数的证明).台雪成(现在香港浸会大学)说,Nash得奖的定理,证明大致有20行(虽然每行都得解释).再多人们就跟不上!

                   sin下的面积示意图

例2sinx

习题1:用tan做一遍

习题2:用做一遍

习题3:用做一遍

以上各例就是微积分或基本定理的速写:开门见山、一针见血

到此,基本定理是什么、为什么,读者已经心中有数,甚或透明如镜!过去传统教材,学了八十学时,其实并不知道基本定理是什么,更不知道为什么.

微积分的动力或动机,无非将各例推广到更复杂或更一般的函数. 下面我们所做的不过如此.  

高中版续:利用导数

以上各例,利用三角,给出中值公式,两边除以θ,即得割线斜率及导数。经过变形,又得基本定理。

例1. 由sin的导数定义:割线斜率切线斜率,即

其中


   例2. 由cos的导数定义: 割线斜率切线斜率,即

其中


  例3.由tan的导数定义:割线斜率切线斜率,即

   4.导数定义:割线斜率切线斜率,即

   5.导数定义 割线斜率切线斜率,即

经过反复做题,熟悉了基本定理的推理程序,自然会做出

总结. 由f(x)的导数定义:

(以上细节见以后的微积分小卡片)


这里积分,或,当即曲线下的面积面积与积分的定义就在于此,慢慢体会


以上论证也不过四五行虽然每行都得解释),高中生可以承受.

             基本定理统一证明


这时,也只有这时,我们才尝到了微积分的鲜活味道!

总之,基本定理只要拿几道题,自己做一遍,就完全明白了.还有必要翻书或引经据典吗?

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微积分一座大山,终于变成了几碟小菜.

以上充分用了导数定义,层次高了一点(高中).但是,后面有一张《微积分小卡片》,像三字经(或九九歌),小学生也能一知半解(启蒙作用).

大局已明朗,读者可以松口气了!暂停.

 注  长证明没有资格进入教材,短证明(如张景中的三角公式无图证法)才需要基本功:

 

             timg (2)            

台上十分钟 台下十年功

质疑传统

以上几题,赤裸裸的,只有少量知识点,不超过四行的证明这是行规:超过四行的证明不进教科书,虽然每行都得解释),便攻破了基本定理.

闪电战 速战速决tg (2)timg (2)台上十分钟 台下十年功

这里,用到实数理论、连续函数理论、微分学理论中值定理)、原函数、不定积分吗???没有!!!这些花架子

                         

务虚花了八十学时,太累了. 我们务实,只要拿几道题,自己做一遍,几分钟就明白了

到此,吃了定心丸,公开了真相,花架子还有什么存在的必要?所以赤裸裸几题,务实不务虚,才是微积分的硬功夫真刀真枪

   总结:基本定理务虚八十学时,务实几道题,几分钟.

该收摊了



建议

微积分一开始就布置这几题,作为打擂台、比武场,供学生试身手、比功夫.直到他们交卷了,才能肯定微积分过关了.

原函数

导数


...

...

这几题真值得,包含了微积分的最初功能:求导数与积分. 加上四则运算求导,便可以制造导数表与相应的积分,如上表。

   以后仅仅是套公式. 下面仅举出决定性的一招:利用上表求单位圆的周长与面积



知足常乐即 圆周长=4arcsin(x)的高,圆面积=2(arcsin(x)+x)的高

微积分大目标已经达到了,你已经非常成功了,一辈子学这么多(几道题)也就知足了. 这就是公共微积分

这几题,是微积分的五脏六腑,或几颗“真金”.也好比清明上河图150920153147-1006

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太紧张了,太累了

公共微积分的大戏终于演到头了!应该喘口气.累

但是,以上只是一种方案. 张景中的工作另立标杆,他提出的不等式就是一条通向罗马的新路. 他的《不用极限的微积分》布满了新思想和真功夫,甚至表现在一道道小小的习题里. 此书第九、十讲包括了微积分的两个函数,对数函数和指数函数,这是我们需要的,没有这两个函数积分表就不能完备.

初中版:打基础

 微积分的基础,包括什么叫做1包括举例用到的,包括随后的微积分小卡片,必须从小学知识点补起

一 微积分的准备:0.99...

.

   达到的目标:什么叫做1

庄子

公元前369-286

  小学时听老师讲庄子故事,一辈子都记住


一尺之棰,日取其半,万世不竭

项数

QQ截图20150817153805

4

0.9375              

7

0.9921875          

10

0.9990234375        

14

0.99993896484375      

17

0.99999237060546875    

……

……

34

0.99999999994179233...

为什么右边会出现0.99...?因为中间是一个小于1又任意接近1 的数,总能取到0.99...(否则例如取0.98...,怎么能任意接近1呢)

   举一反三                                举一反三

  (1)中学学到三角时,说又任意接近1(令θ缩小),那是什么意思呢?它总能取到0.99...(否则例如取0.98...,怎么能任意接近1呢). 所以

 

   (2)哲学家说,人类通常做不到百分之百(=1)正确,只能做到百分之九十九,百分之九十九点九,...正确:


商家也说,百分之九十九,百分之九十九点九,..., 所以尽可能用0.9...9说事.

再举一反三

   (3)庄子故事中,1/n任意接近0(令n增大),那是什么意思呢?它总能取到0.0...01...()(否则例如取0.0...02...,怎能任意接近0呢). 即

   (4)在前面(1)中令

即柯西的语言


  重复柯西的警告:“摆脱直觉的危险与图解的诱惑,即使显而易见的事实也必须用无可争辩的推理过程来证明”.

公式一多就烦了!简言之,以后只用到夹在0.9...9与之间(不必说成1-ε1+ε之间)的量. 此外,避长就短,今后常说成趋于1(因两头,所以夹在中间的量也),其意思很明白,即夹在0.9...9(即1-ε)与(即1+ε之间的量.

常用就习以为常. 下面言归正传


  圆的学问

   达到的目标:了解圆的构成,以直代曲,且“直/→1(即夹在0.9...9之间)

   为什么要讲圆?

   (1) 圆是人类最古老的发明


 


至今还在沿用:科学目的造福人类,并非无病呻吟



   

   (2)圆大有学问:圆是曲线,人脑、电脑只会直线(两点以直线段为最短). 看圆怎样构成


圆井由直砖砌成   电脑画圆放大看不是圆,只是多边形  

即以直(弦或切)代曲(弧).

   (3) 进一步观察,它们(即直与曲)相除还能保持1(当弧→0):这称为高等数学第一题,将反复出现,但到中学才理解(见附件1)



即夹在0.9...9与之间:


IMG_256



弦/弧

0.50

0.9589...

0.10

0.9983...

0.05

0.9996...

前式为什么能以算术(0.9...9)代三角(cosθ)?参看第一节之(1),cosθ1(当θ→0),总能保持0.99...(例如0.98...不能任意接近1. 但别忘了,在9后面一定有别的数,不可能永远取9,因为 cosθ是无理数,见右表.

   后式则不证自明(这里为简单对圆作等分,所以每个弦、每个弧都相同)

  简言之,圆有一道算术题:当分子=弦或切,分母=弧,则

局部比


(从《微积分历程》Dunham看到:柯西在证明他的均值定理时也用到这个不等式. 我们现在对圆(做等分)不证自明:每个分子、每个分母都相同)  

结论:弦(或切)相加/圆周→1,或弦(或切)相加圆周(定死了),又称:弦(或切)的积分=圆周. (学生通过这些来反复理解什么叫作“”)

   我们必须守住圆:不懂圆(或0.9...9)就不撤.

暂停    许多人开始不明白:0.9...9等价于“→1其实


   小学生高年级也能知道这些. 暂停!

但弦(或切)相加永远达不到圆周,即达不到精准的结果. 就像庄子故事,永远分下去也达不到0. 尽管如此,圆的算术却把我们引到了精确的微积分

   下一场戏,就要看怎样由圆的算术带出微积分




三  微积分小卡片

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意外与微妙.

微积分大手笔(或大笔一挥)

也就是圆的一道算术题,只是分子与分母的取法有所不同(多潇洒).

所以,从共性看,微积分藏身于圆,圆变脸,或摇身一变、改头换面,便是微积分. 事实上,我们先有预谋,对圆演习一遍


演习


点石成金timg (2)然后偷梁换柱、点石成金。便写下了下页小卡片.

数学所以有趣,就像变魔术、耍戏法

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             微积分小卡片(左半为石、右半为金)

安民告示

像念三字经(三个知识点:分子,分母与0.9)先背下,以后再做题来理解

算术假设   每个分数的分子与分母足够接近,相除能保持接近1,必然取    

这里,分子们、分母们可不同

微积分就藏身其中:取分子=小直角三角形的高=微分(命名),

分母=相应曲边三角形的高(称小高),使之满足算术假设(局部)

(也记:割线→切线),由算术定理得(整体)

9的个数在增(随分点在增)

也记:微分相加→全高(定死)

或  微分的积分=全高

此即微积分基本定理

设分母>09的个数一样(均匀),则有算术定理

由局部分数到整体分数,需要均匀

只需验证. 先验左边:


同理,再验右边

要点:对微分(或切线)的定义,已经包含了基本定理(由算术定理). 事情竟如此简单(张景中语),奇迹!

 这张卡便是微积分的浓缩与聚焦. 初中生先作为三字经背下,高中生以后再做题(即高中版的例1-5)来加强理解、增加说服力.

  三字经tig (2)

   注释:卡右出现曲边三角形. 初中学过直边三角形,所以先将曲边三角形分解为小的直边三角形(又称“微分三角形”如阴影部分). 然后,用“微分三角形”的高(又称微分)相加起来,来接近原有曲边三角形的高. 这也可看作登山的故事:登高与坡度的关系. 为什么采取卡中那张图?务必读文末的附件二.

   这样的微积分,降低了复杂度:“由圆带出微积分”、“由定义包含定理”,触及了微积分的天花板,导致微积分减肥瘦身.

   一本书变一张卡,以少胜多,上演蛇吞象

微积分小卡片与高中版结合


附录一  副产品

基本定理(即导数表与积分表),要落实到高中生做题上

  (1) 单调判别法

  高中要解一批极大、极小值问题. 有很多特殊的解法,但机械可行的方法是先求导数,再利用单调判别法

所以高中就要学会求导数,不学白不学,不学白丢题! 如果你要知道为什么有单调判别法,那么还要知道基本定理,因为后者直接推出单调判别法. 这样,你不仅知其然,也知其所以然

(容易造成误会:单调判别法,只要看看导数的定义与图形. 这正是违背了柯西的原则:摆脱直觉的危险与图解的诱惑,即使显而易见的事实也必须用无可争辩的推理过程来证明).


  (2) 泰勒公式

会求导数,会用基本定理,我们还能制造出泰勒公式.它是基本定理登峰造极的推论,通常也当做微积分的名片,向人们亮出,说它是初等函数计算的革命.

几个世纪前,人们编制三角函数表,成本极高.自从有了泰勒公式,变成了加、减、乘、除,在计算机上计算到任意精度都是举手之劳.这张名片虽是微积分的顶峰,不过,有了基本定理,推出它也是举手之劳:只用累次积分(不用多重积分),仍然每步不超四行:

第一阶:

第二阶:

第三阶:

n+1阶:

最后的积分项常为小量,解不出便略去(绝对真理为未知或太复杂,便通过相对真理(多项式)简单化). 所以,泰勒公式使初等函数变成多项式. 最简单的有

特别有

回顾古代割圆术,无论把圆分割多少次都是近似值,永远得不到最终值(即极限值). 但泰勒公式却给出了极限值,不得不令人折服.

π的故事(摘自李大潜、善平《十万个为什么(第六版)》)

   

在牛顿和阿基米德发明微积分之前,数学家主要利用阿基米德的几何方法(即割圆术)来计算圆周率。但是,要用割圆术求出较高精度的值,需要计算很多边数正多边形的边长或面积,这不是一件容易的事,鲁道夫·范·科依伦花费了大半生的时间才将计算到小数点后35位。要求出更高精度的值,单用几何方法已经是力所不能及了。

17世纪微积分的发明,使圆周率的计算进入了采用分析方法的时代。基于微积分和幂级数展开理论,人们发现了一系列用无穷级数表示的的计算公式,这些公式不依赖于割圆术。第一个例子由苏格兰人格里高利于1671年得到,他利用的积分表示得到了无穷级数展开式

,就得到

上式右端称为莱布尼兹级数,它不含根号,具有十分简单的形式,但其收敛速度很慢,还不适用于实际计算,即使计算300多项也算不出小数点后2位的精确数字。

1706年,数学家梅钦巧妙地改造了格里高利的公式,得到

将格里高利公式带入,就得到收敛速度很快的级数表达式,这是的第一个快速算法。梅钦本人用此方法计算值到小数点后100位。以后,又陆续出现了计算速度更快的类似公式,统称为梅钦类公式。

可见,微积分的发明开创了圆周率计算的新纪元。

               附录二 扫尾工作:实数理论

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讲到三角测量,例如求,它不是有限循环小数. 一般它们都是无限不循环小数,也就是华罗庚说的实数,简单列成表格

测量需要实数. 利用无限位小数,逐句逐字,或改头换面,

耍出一般实数

按部就班

依序试算

联合成不等式

最终等式唯一

实数的

整数部分

阿基米德原理选出整数a

小数部分

第一位

区间分成十份

小数部分

第二位

区间再分十份

小数部分

第三位

区间再分十份

找出规律归纳类推至所有位

每为多找一个小数位,等号右边

的小数点后就在加9,越来越接近1.  

这就是华罗庚构造法

,R不能用有限位小数表达)

古今总结

古人认为:

(整数及其四则运算,其中整数之比未必是整数,可能是有限或无限循环小数)

任一长度对应

华罗庚耍出推论:单调上升且有上界的数列必有极限(这话比较专业,先认下来)

的故事(抄自网页)

   其实,看似简单的一个,却引发了第一次数学危机。

著名的勾股定理在西方叫毕达哥拉斯定理,就是这个毕达哥拉斯在历史上提出过“万物源于数”的理论。这个理论听上去有些奇怪,但是如果你仔细了解毕达哥拉斯的学说的话,他的理论还是挺有道理的。毕达哥拉斯还成立了一个像宗教形式的学派,他本人和他的学生们都对数有着疯狂的迷恋。

前580-500d0c8a786c9177f3eb0ae2c0070cf3bc79f3d5621      4b44e2b1ha2cf9ce81a26&690   前500-?

  毕达哥拉斯认为宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达,并不存在无理数。可是他的一个学生希帕苏斯却证明出了√2是一个无理数,这让学派的其他成员惊恐不已,因而将他抛入了大海,以保守这个秘密。                        

无理数的出现深深的困扰着古希腊的数学家,人们无法理解无理数的意义,陷入了逻辑上的困难。这就是第一次数学危机。

思考题

已被证明为是无理数,问题是怎么发明的?应该先去算它的头几位小数,总算不尽,才怀疑它不是有理数,见上一张表.

后面只是轻松的务虚,不动脑筋了...


附录三  公共微积分还有什么

   

   公共微积分,即务实的微积分,除了以上三把斧

基本定理、单调判别、泰勒公式

还有什么利器?高三、大一必学的,做题应试所必须的,也就是这些.

   其它知识点:级数呢?好处理:

指数、对数函数呢?它们特别有意思:的导数还是的导数是.前者可用来预报人口,只用几分钟(以及前几年已有的数据),后者用来填补积分表.见张景中书《不用极限的微积分》第九、十讲.

附录四 公共微积分的模式

   微积分倒放了. 传统微积分有固定模式:    

实数极限连续函数理论微分学(中值定理+单调性判别+

泰勒公式基本定理


现在倒过来出牌:

基本定理单调性判别+泰勒公式


代替了中值定理,成本骤降. 这就是公共或务实的微积分!过去根深蒂固、千锤百炼、天衣无缝的微积分被动摇了


第二部   绣花微积分 (以中值定理为动力)

   第一部例5讲到了中值定理,干净、有用. 遗憾:它的论证远不是四行的问题,要用到连续函数理论与实数理论,成本太高、太奢侈,没有资格作为公共微积分的内容. 但它很有魅力:北京珠市口天桥上就有它


事实上,中值定理成了一个动机或动力,由“公共微积分”向“数学分析”过渡. 由于张景中的《不用极限的微积分》第十八讲用了最短的篇幅把这个烫手的部分讲透,我们推荐它给各位读者就行了。

 

务虚:学微积分(包括圆)能得什么好处?

   (1) 学了圆才恍然大悟:尽管圆存在(离中心距离相等的轨迹),人脑电脑却得不到圆,只能以直代曲,以多边形来接近圆:


于是你才相信:尽管绝对真理存在,人类却得不到它(它比圆更复杂),只能以相对真理来接近绝对真理:


于是你才有了辩证的世界观,不至滑到民间数学家的圈子,否定前人相对真理,一步登天.有这一点提高,就已值得.

   其实,醉翁之意不在酒,我们学圆,动机是带出微积分

   (2)托尔斯泰等由此观察人类历史

《冯·卡门传》:历史只观察大多数人活动的平均效果,系统地目前状态包含着过去的历史.

看来不懂微积分,看高级小说,就知其然、不知其所以然

 (3)微积分低成本高收益

实例:2000年人口普查,全国挨家挨户访问5亿人花了一年. 若根据马尔萨斯定律,利用过去(1990)人口数据,再应用微积分,一个大学生只花五分钟,即推算出2000年的人口

马尔萨斯(1766-1834)


结果相差6.4%,但成本更要紧.

又例:材料科学基本靠微积分来算. 过去爱迪生为找灯丝的最优材料,做了几千次实验,因为他一点也不懂微积分(据说)          

  (4)微积分改变世界                    

   莉莉安·李伯说,麦克斯韦第一个想出了“电磁场里的波”这个概念,再运用微积分耍出电磁波存在(微积分有没有用,就看你会不会耍). 之后赫兹验证了电磁波的存在,时代翻页







网络时代

电磁波的现象a

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克里斯·罗里斯说,若阿基米德“失传遗稿”(有关微积分吧)早牛顿100年被世人发现,那么人类科技进程可能就会提前100年,人类说不定都已经登上了火星

下载 前287-2127e3e6709c93d70cfff216732fbdcd100baa12b32

   (5)吴文俊:微积分为18世纪军火制造扫清道路

http://v.baidu.com/watch/04241756129832559483.html

  (6)丘成桐:数学改革最简单的做法是把微积分纳入高考,微积分在所有理科,包括经济、医学、 物理、现代科技等领域都会用到,但我们现在的高考反而不考微积分,这是很大的错误.

  (7)阿诺德:不懂数学的人就不能认识其他任何科学.不要相信所有物理概念,相信数学方案.本世纪初期的纯物理概念已被物理学所摒

  (8)最后,对学生来说,微积分最实惠的就是帮你应试.不学白不学,不学白丢题!

后言(致教师)

   小卡片的求高图来自《光明日报》《人民日报》(1997)

light

我当然不满足于图解,微积分的成功在于“摆脱直觉的危险与图解的诱惑,即使显而易见的事实也必须用无可争辩的推理过程来证明”. 不过,中学数学也应该有一个行规:每一证明不能超过四行(就像证明是无理数那样). 所以,当我参加院士丛书(广西出版社1998年)的写作时,就把一个四行的证明写进《画中漫游微积分》

搜狗截图20170311173551

.

   见过这证明的朋友,如加拿大陈掌星院士,立刻拍板说“这就是微积分教学的突破”. 之后,专家圈里也得到个别支持:美国M. Livshits几处演讲题目就是“由笛卡尔到...”,中国张景中的书称之为“微积分基本定理的林群模型”,美国Michael Range的微积分新书称之为“Ideas of Lin Qun”,当他看到我的微积分小卡片,来邮件说“我开始的时候不得其解,觉得这怎么可能. 我花了一段时间来理解,为什么您的“区间导数”或“区间微分”可以绕开技巧,原来估计的一致性已经隐藏在条件之中。我知道Lax认为连续应该定义在区间上(即一致连续)而非逐点定义,从而可以避免一些对大部分学生而言十分艰涩的分析结果. 您对导数(微分)的类似处理有异曲同工之妙”. 网上liyu称“这个卡片太神奇了, 图中间的不等式着实很强大(上下界的选择), 高中生或者初中生都可以尝试证明. 有很强的几何意义. 之后的证明也非常简洁明快”. 它进入《高等数学研究》(主编张肇炽)的简讯:题目为

并进入香港电视剧

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QQ截图20161201103227

特别,进入中学生及家长的社会,被评为

2016中国科学年度新闻人物”

   我爱别人赞成,只挑赞成的特例. 笑话的、反对的多得很:如果你随便问一位教师,他都会摇头


                               

网上就有人预言:已经为实践所逐步证实,他们的方法不会成功,也就是不会成为微积分理论和教学主流.

我还是硬着头皮做实验,例如在深圳华富小学,还有北京双榆树小学的网页:http://www.sysyx.com.cn/Item/2248.aspx

声明:所有插图均来自网络.

附件1:高等数学第一题,三角不等书的李瑜图解


李瑜图

通过比较面积可得)


附件2 《全民科学素质学习大纲》(中国科普研究所,2016)第二章“数学与信息”,P. 53-54,游春光、谢满庭主笔:

   附件3  张景中《不用极限的微积分》P. 232-235的证明与图解

1

2

4








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