物理、拓扑、逻辑与计算之罗塞塔石碑（五）

约翰·贝兹， 迈克·斯徳

2009年3月2日

2.4 辫子幺半范畴

在物理中，常常会有这样一种过程，使得我们可以将两个系统绕过彼此来“交换”它们。在拓扑中，有一个缠结描述了交换两个点的过程：

在逻辑中，我们可以在两条陈述的合取中交换它们的次序：陈述“X与Y”和“Y与X”是同构的。在计算中，有一个简单的程序可以交换两段数据的次序。能做这类操作的幺半范畴被称为是“辫子的”：

定义 11 一个辫子幺半范畴由以下要素组成：

• 一个幺半范畴C，

• 一个称为编织的自然同构，为每一对对象X,Y∈C指定一个同构：

b_X,Y: X⊗Y →Y⊗X，

使得六边形方程成立：

第一个六边形方程是说将对象X一次性换过Y⊗Z等同于先将它换过Y，再换过Z（同时扔进一些结合子来移动括弧）。第二个是相似的：它是说将X⊗Y一次性地换过Z等同于分两步来做。

用弦图来表示，我们可以把编织b_X,Y: X⊗Y →Y⊗X画成这样：

我们把它的逆b_X,Y^-1画成这样：

（译注：这个图有点问题，应该把X和Y标记互换，因为b_X,Y^-1交换的是Y和X。）

这是一个很好的记法，因为它使得b_X,Y和b_X,Y^-1的互逆方程是“拓扑正确”的：

（译注：同上，最右边的图应该把X和Y的标记互换。）

下面是六边形方程的弦图：

作为练习，我们敦促你证明以下方程：

如果你被卡住了，在这里给点提示。第一个方程源自编织的自然性。第二个被称为杨-巴克斯特方程，可结合自然性和六边形方程推导出来。

下一步，我们给出一些例子。可能有许多种不同的方式为一个幺半范畴赋予编织，也可能没有。不过，大多数我们钟爱的例子都伴随着众所周知的“标准”编织：

•  任何笛卡尔范畴自动变成辫子的，并且在配备笛卡尔积的Set中，其标准编织由下式给出：

b_X,Y: X×Y → Y×X

    (x,y)↦(y,x)。

• 在配有通常张量积的Hilb 中，标准的编织由下式给出：

b_X,Y: X⨂Y → Y⨂X

    x⨂y↦y⨂x。

• 幺半范畴nCob 拥有一种标准编织，其中b_X,Y微分同胚于圆柱体X×[0,1]与Y×[0,1]的无交并。对于2Cob来说，如果X和Y都是圆圈，这一编织形状如下：

• 幺半范畴 Tang_k 当 k≥2 时拥有一种标准编织。对k=2来说，当X和Y都是一个单一点时，这一编织形状如下：

   Tang_k 的例子展示了一种重要的模式。Tang₀ 就是一个范畴，因为在0-维空间里我们只能“串行”地执行过程：也就是，合成态射。Tang₁ 是一个幺半范畴，因为在1-维空间里，我们还可以“并行”地执行过程：也就是，张量积态射。Tang₂ 是一个辫子幺半范畴，因为在2-维空间中，有足够的余地将一个对象绕过另一个进行移动。下面我们将看到当空间有3维甚至更多维时会发生什么事情！

2.5 对称幺半范畴

有时候交换两个对象再换回来等同于什么也没干。其实，这种情况是耳熟能详的。因此，最初被发现的辫子幺半范畴其实是“对称的”：

定义12 一个对称幺半范畴是一个辫子幺半范畴，并且编织满足

b_X,Y=b_Y,X^-1。

   因此，在一个对称幺半范畴中，

（译注：请注意，上图跟互逆方程的图有所不同。）

或者等价地，

（译注：请注意，这里右边对应的是b_Y,X^-1，交换的是X和Y，跟之前互逆方程中的b_X,Y^-1有所不同。）

   任何笛卡尔范畴自动变成对称幺半范畴，所以Set是对称的。也很容易验证 Hilb, nCob是对称幺半范畴。Tang_k 在 k≥3 时也是。

有趣的是，Tang_k 在 k=3 时“稳定”了：继续增加k的值得到的仅仅是与Tang₃ 等价的范畴。其原因在于，我们已经能够在4-维空间中解开所有的纽结了；增加更多维度没有什么实际效应。事实上，Tang_k 在 k≥3 时等价于 1Cob 。这是被称为n-范畴“周期表” (Baez &  Dolan, 1995)的一个庞大的猜想模式的一部分。这个周期表的一部分展示在下表中。（译注：为方便读者参考和对照，这里我们列出中英两种版本的表格。）

表2.3 周期表：当j<k时仅有一个j-态射的(n+k)-范畴的猜想式描述

   一个n-范畴中不仅有对象之间的态射，还有态射之间的2-态射,2-态射之间的3-态射，一直下去，直到n-态射。在拓扑中我们使用n-范畴来描述高维面的缠结，而在物理中我们使用它们来描述粒子之外的弦和高维膜。我们这里描述的罗塞塔石碑仅仅涉及了周期表的n=1列。因此，它很可能是一个更大的，仍然深埋地下的n-范畴罗塞塔石碑的一小片段。

Bibliography

Baez, J., & Dolan, J. (1995).   Higher-dimensional algebra and topological quantum field theory, arXiv:   q-alg/9503002. J. Math. Phys.36, 6073-6105.