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i 的 i 次方等多少?
热度 33 2015-6-26 07:43
写了三篇δ函数的博文后,现在来点轻松的。别以为是说“爱的爱次方等多少”。理科男在这里,还没想到这样浪漫的事,其实是谈初等数学,这里 i 是虚数符号,问: $i^i = ?$ 这原是我在高中上了复数课后,写来考同学玩的。欧拉公式还记得吗? $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ ,我们知道 $e^{ipi/2}= ...
个人分类: 科普|47300 次阅读|105 个评论 热度 33
工程应用狄拉克δ函数的模型问题
热度 6 2015-6-19 07:40
人们经常应用狄拉克δ函数,作为瞬间冲击的数学模型,来简化近似计算。例如在电路中,对脉冲电源或电击后,估算此后系统过渡过程的状态。 有人认为:在那电路中,把δ函数当作为脉冲源的数学模型,并不适当,因为高频下电感是决定性的,以上篇 《狄拉克δ函数应用的迷思 》 中,清华大学的电路原理课的那道题为 ...
个人分类: 科普|10501 次阅读|12 个评论 热度 6
狄拉克δ函数应用的迷思
热度 12 2015-6-12 08:06
理工科学生都知道狄拉克δ (x) 函数。作为解决实际问题的数学模型,它基本有两种用法。一是类比于分布函数,把所有权重集中在一点,用积分来抽取与之相乘的函数在这点函数值。狄拉克在获取连续谱波函数分解系数时,以此来与离散谱的计算保持形式和直观上的统一。傅立叶变换与傅立叶级数分析的类比即是如此。另一,常用 ...
个人分类: 科普|16121 次阅读|37 个评论 热度 12
狄拉克δ函数的数学迷思
热度 29 2015-6-5 07:03
早期的科学家既是物理学家,也是数学家,还是哲学家。由哲学启迪认知,以直观指引逻辑,理论 概括 实践验证,用数学量化计算。那时的科学家,宇宙在乎手,万化生乎身,为智者,为大师,为哲人。 自从牛顿用微积分将大家带入无穷的世界后,凭借逻辑冥想的大步跨越,让物理的直观和数学的严谨拉开了距离。经二三百年的混 ...
个人分类: 科普|33458 次阅读|45 个评论 热度 29
重修微积分10——算子
热度 11 2015-5-29 06:55
算术是从给定条件和已知数,得出符合条件数值,计算的学问。算法用给定的条件,构造性地定义了从已知数到得数的映射。算术所在的数域仅仅是抽象空间包含的一个实例。近代分析把抽象空间作为给定条件,定义在空间的映射称为算子,研究它们的一般性质。 例如,迭代算法是用相同的子算法,把得数作为下次计算的已知数,一 ...
个人分类: 科普|12453 次阅读|21 个评论 热度 11
重修微积分9——泛函
热度 12 2015-5-22 08:01
算术是从一个或几个具体的数计算另一个数的学问,在这儿,数是已知和不变的。代数等式中有些数虽然未知,但其所指,仍是一个固定的数。在几百年前,只在几何中表示数量的对应,运动则代表着变化。几千年中的算术、几何和运动的研究,人们在三者间交叉借用形象来类比推理,直到 1694 年莱布尼茨终于用了函数这名词,抽象 ...
个人分类: 科普|14963 次阅读|19 个评论 热度 12
重修微积分8——积分
热度 11 2015-5-15 07:22
一元非负函数 $f(x)$ 从 a 到 b 的定积分,可以很直观地看成是这函数与 x 轴中 区间所夹的面积。在几何上,牛顿很直观地将 分割成细小的区间 $\Delta x$ ,以此为宽度的小长方块来填充或覆盖逼近这个面积, $\sum _i f(x_i)\Delta x$ ,当 $\Delta x$ 趋于零时它趋于这曲线所围的面积 ...
个人分类: 科普|12627 次阅读|16 个评论 热度 11
重修微积分7——测度
热度 21 2015-5-8 08:11
计量是数学的肇始。无论是称重量,量尺寸,度面积,计体积,结果都是从 0 到无穷大的一个数。计算时多将整体划分成比较规范的部分,分别测量累加而成。不因测量的方法不同而异。所以计量必须具备几点:它是非负的数量,空无为 0 ,划分后计量之和等于总体,不因测量方法而变。在无限可分世界里任何的计量,就必须把 ...
个人分类: 科普|11386 次阅读|53 个评论 热度 21
重修微积分6——微分
热度 10 2015-5-1 08:05
芝诺“飞矢不动”的悖论说:飞行的箭,每个时刻都占据了一个确定的位置,这意味着它不会同时存在其他的位置,箭矢的位置固定,所以它在这时刻是静止的。依此推理,飞行的箭在任何时刻都是静止的,所以运动在逻辑上是不可能的。 对于这个悖论,有不同的解答。黑格尔认为运动就是一对矛盾,每个时刻飞矢是既在这个位置又 ...
个人分类: 科普|8058 次阅读|16 个评论 热度 10
重修微积分5——线性
热度 10 2015-4-24 08:08
数学的空间是集合上赋有某些数学性质的论域。距离空间赋予集合中点的远近概念,让我们可以很直观地想象无穷空间中的收敛、极限和连续。微分、积分和求极限的计算都是线性的,线性运算依赖于,所在空间的点有着对线性运算封闭的代数结构。微积分中大部分概念,可以在有拓扑结构和线性结构的点集空间中理解和推广。所以我们 ...
个人分类: 科普|11690 次阅读|23 个评论 热度 10

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GMT+8, 2021-12-6 17:36

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