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理解数学——模型（2）
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- 数学的语言严谨但局限，现实的世界是不可想象般的丰富，甚至自然的语言都比数学的描写丰富，因为它能够含糊其辞，给你想象空间。真实的世界不可能用数学模型完全描述，它只能反映出某种角度的抽象关系。经过抓住重点，忽略其余，关注的对象和关系被大大地简化。而同一个事例，由不同侧重就有着不同的数学模型。 同样的 ...
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理解数学——模型（1）
- 热度 17
- 对于数学，许多人关心的是怎么应用，这也是需要训练和智力的。最简单数学应用是算术的加减法，通常认为这是碰到了就会用的事，忘记了这也是在小学里被不断考试逼得才习惯的。小懵小的时候被他妈考：“口袋里有两个钢蹦，回家后发现口袋破了，还剩啥？”，小懵答：“还有个洞。”问：“你同学有 5 个苹果，被你吃了 3 ...
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理解数学——逻辑（5）
- 热度 23
- 上一篇里有关“无穷”、“无限的推理过程”、数学归纳法、反证法等概念和它们间的关系引起一些有意义的讨论，其中不乏数学专业的教授和对数学问题钻研很深的网友，让我觉得值得向更多的读者分享些相关的概念和逻辑。这里谈的并不针对讨论的所有内容，而是大多数读者可能感兴趣的核心观念和逻辑。 有人说：“看了讨论让 ...
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理解数学——逻辑（4）
- 热度 17
- 经过千年的犹豫和百年的争执，人们意识到不能再回避无穷作为数学的实体，终于将现代的数学建立在集合论的基础上。 时间淘汰了盛行过的各种流派，在现代有影响的还有三大数学流派，它们都在 1900 年到 1930 年间形成。首先是罗素为代表的逻辑学派，认为数学和逻辑是全等的。每一条的数学真理都能够表示为真正的逻辑 ...
- 理解数学——逻辑（3）
- 热度 8
- 无穷在推理上的麻烦，不仅仅在涉及到逻辑中的排中律，还在于涉及到无穷个抽象对象和无穷步的推理过程。说到底，这是因为人们不能想象无穷，可能的想象只是模拟有限时的经验，没有事实可以支撑你的想象。所以只能依靠逻辑。但逻辑的推测还是要站在坚实的地面上，才能让人放心。 关于无穷的思考，最早并且影响至深的是古 ...
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理解数学——逻辑（2）
- 热度 20
- 应用在生活中的朴素逻辑，也有一些很有说服力的推理，比如说：“张三比李四更怂，李四见他都像孙子，张三见了还不尿裤子？”在形式逻辑推理中，因为滤除了形容词和副词，逻辑只有对错两种状态，无从应用比较。非黑即白的原因是“排中律”。 排中律要求在同一个思维过程中，两个相互矛盾的判断不能同时为假的，其中必有 ...
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理解数学——逻辑（1）
- 热度 15
- 前几篇介绍，说数学抽象的一个目的，是提取不同模型的共同逻辑关系来定义概念，从而能将不同的应用对象，具有某种结构共同性质的研究共治一炉。其另一目的，是为逻辑推理服务。逻辑推理不容许任何含糊不清的描述，当某个概念可能导致混淆和矛盾的属性时，总可以通过抽象定义的细化来区分它们。数学抽象的定义除了概念之间 ...
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理解数学——抽象（3）
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- 要准确地使用概念，必须理解数学中的定义。定义中的概念是靠与已经定义过概念的相互逻辑关系来约束的，除此约束别无其他。 比如说实数，比较严格的是 1872 年德国戴德金的定义。他用集合理论作为基础开始定义自然数。势是集合一一满映射的等价类，自然数是集合的势。 1 的定义是只含有空集为元素集合的势，空集和 ...
- 理解数学——抽象（2）
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- 在早期，数学和物理等自然科学并不区分。亚里士多德认为演绎推理是走向真理唯一的途径，自然数曾被毕达哥斯学派认为是宇宙中的真理。后来数学与其他科学渐行渐远，其原因在于对抽象的要求。所有的科学都是对现实世界某种程度的抽象。培根开辟了归纳法的道路，在他看来抽象是滤去细节，理解本质的途径，是为了抓住主导因素 ...
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理解数学——抽象（1）
- 热度 17
- 数学是做研究的人既爱又恨的内容，也是民间科学家最喜欢又常被拒之门外的挑战。若能从一般的原理出发经过数学演绎推导，发现了符合实践的规律，用公式简洁概括地描述，量化的计算如同魔术般地揭秘预测，这研究就有了高度，放在论文里点石成金。恨的是，上过的课一半还给了老师，翻书时头晕目眩，推理常有人挑刺，看别人论 ...
