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蒙提霍尔问题(2)——折服和逆袭

已有 9335 次阅读 2013-3-14 06:33 |个人分类:科普|系统分类:科普集锦| 智力, 贝叶斯, 蒙提霍尔问题

早在1975年,UC Berkeley生物统计学教授Steve Selvin寄给American Statistician期刊在题为“A Problem in Probability”上就提出了这个蒙提霍尔问题(Monty Hall problem)【1】,他借用美国电视比赛主持人蒙提霍尔的节目《Lets Make a Deal》说这故事。在后续的文章中他用条件概率给出一个简单的证明【2】,但这两篇通讯都没有说服反对的学者。1987Nalebuff在“The Journal of Economic Perspectives”难题的栏目,1989Phillip Martin在“Bridge Today”的文章把这问题也归结为概率的计算。1990Marilyn vos Savant3】在“Ask Marilyn”专栏将这问题略加规范来讨论,引起了广泛的注意。自此以后,有很多的论文以此为题,并在概率和统计课堂和教科书上介绍。

 

Vos Savant在专栏解释之中澄清了一些含糊之处,规定:主持人必须在你选择的门之外,打开一扇有羊的门,然后让你做第二次选择。当然,车子的放置和参赛人的选择都是完全随机的。大家对这个澄清少有异议,人们关心的是真正有意义的问题,而不是其他无争议的变种。

 

这个vos Savant标准化的问题重述如下。

 

让你在三扇关着门中自由选择,知道一扇后面是车,其他俩都是羊。当你选择后告诉他,比如说1号,主持人知道车在什么地方,他必须在你选的门之外打开一扇有羊的门,比如说3号。然后问你,要不要改主意选2号。问:改选是否对选到车更有利?【问题1

 

面对着上万个无法说服的读者,vos Savant在全国学校的数学课里组织一个统计实验,所有学校的实验结果都吻合她的结论,接着有几百个人以不同的方法,用计算机做仿真实验,有97%的结果同意改选是更有利的。至此,绝大多数人都被说服,同意了她的观点。决策研究学者Andrew Vazsonyi报道说:著名的数学家Paul Erdős直到这时才被说服了。

 

Vos Savant大获全胜,对于不符合她结论和实验结果的论断,都归结为不符合她标准问题的变种。那是另外一个问题的答案。但是对于喜欢思考的人,这还不够。我们要明白,反对的说法错在什么地方?结论对的,论证的逻辑也对吗?先看反对1号门概率不变,基于贝叶斯公式的推导。

 

【说法2】 假如事件$A$表示车子在1号门,车子可能在任意一扇门后,所以它的概率$P(A)=1/3$;$H$表示主持人打开有山羊的门的事件,三扇门中两扇门后有山羊,概率$P(H)=2/3$$P(AH)$是车子在1号门后而且主持人打开了有羊的门的概率;已知车子在1号门打开有羊门的条件概率$P(H|A)=1$,不难看出$P(AH)=P(H|A)P(A)=1/3$;那么主持人打开有羊的门后,1号门后面有车子是条件概率$P(A|H)=P(AH)/P(H)=(1/3)/(2/3)=1/2$,这和大家的直观一样,那没打开的那扇门(2号)有车的概率也是1/2,所以换不换都一样。

 

这说法错误在于,式子$P(H)=2/3$是主持人随机打开2号或3号门的概率。这就不能保证打开的门后面总是羊。这不符合标准问题的题意。按规定主持人必须打开有羊的门,这时应该是$P(H)=1$,条件概率$P(A|H)= P(AH)/P(H)=1/3$,也就是说,在这规定下1号门的概率不变,那剩下那个门有车的概率就是 1 - 1/3 = 2/3 。这证实了vos Savant的说法。反过来,如果主持人不是有意打开有羊的门,而是随意打开一扇,这个场景碰巧里面是羊,那大家的直觉对,vos Savant就错了。但这不符合标准问题的规定,是变种的问题了。

 

我们现在来看维基百科上的逆向思维解释【4】:

 

【说法4】无论参赛者开始的选择如何,在被主持人问到是否更换时都选择更换。如果参赛者先选中山羊,换之后百分之百赢;如果参赛者先选中汽车,换之后百分之百输。而选中山羊的概率是2/3,选中汽车的概率是1/3。所以不管怎样都换,相对最初的赢得汽车仅为1/3的机率来说,转换选择可以增加赢的机会。

 

这结论符合实验和vos Savant的结果,但这推断中没有包含主持人是怎样的选择。从【说法2】分析中知道,主持人是有意还是随意打开恰巧是有羊门的情况,这两者的结论是不同的。所以这个说法是糊里糊涂地蒙事了。

 

vos Savant最初的说法也是非常简洁和直观的,这回答有问题吗?她这说法可以改写得更明确一点:

 

【说法11号门有车的可能性是1/3,其他两个一共有2/3。主持人打开没有车的那扇门,给你机会改选另一扇门,等价于给你机会改选2号和3号联合在一起的两扇门,他实际上帮助你拿掉了没有车子的那扇门,让大家觉得只是选另一扇。

 

在这个说法里,确实必须有“主持人必须打开没车的门”这个规定才能成立。因为2号和3号之中至少有个是羊,是已知的事实,主持人揭示这事实的事件,并没有为它们之外的1号门提供新的信息。所以不改变了原来1号门的概率。它只改变2号和3号之间的概率分配。反之,如果主持人是随机的选择,他有打开是车的门的可能性,所以它并不单纯地揭露了这个事实。如果他是在3扇门之间的随机选择,这事件也给他选择范围中的1号门,提供了新的信息,改变了它的概率。这就能解释随机选择的结论。

 

主持人即使必须只在2号和3号之中打开一扇有羊的门,也改变了2号和3号之间的概率分配。这个认知,让我们觉得这和具体的场景有关系,有必要重新审视一遍这个问题。考虑【问题1】举例说明的这个具体场景:

 

参赛人选择了1号门,主持人打开3号门里面是羊,问:要不要改选2号?

 

不难用贝叶斯公式计算这个条件概率。记事件S为参赛人选择1号门,Z为主持人打开有羊的3号门,ABC分别为车子在123号门,在这个场景下2号门有车的条件概率可以写成:P(车子在2号门 | 主持人打开了有羊的3号门,参赛人选择1号门),即

 

$P(B|ZS)=P(BZ|S)/P(Z|S)$

$=P(Z|BS)P(B|S)/(P(Z|AS)P(A|S)+P(Z|BS)P(B|S)+P(Z|CS)P(C|S))$

 

因为车子所在及参赛人选择都是完全随机的,条件概率$P(A|S)=P(B|S)=P(C|S)=1/3$;主持人必须在1号门之外打开一扇有羊的门,意味着条件概率$P(Z|BS)=1,P(Z|CS)=0$;这时候我们有:

$P(B|ZS)=1/(P(Z|AS)+1)$,这里$P(Z|AS)$是参赛人选择1号门车子也在1号门时,主持人打开3号门的概率。

 

在这种情况23号门后都是山羊,主持人任何选择都符合题意,他如果完全随机在它们间选择,$P(Z|AS)=1/2$2号门有车的概率是2/3,同于vos Savant的答案;如果这时他总是选3号,$P(Z|AS)=1$,则2号门概率为1/2,相同于大众的答案;如果这情况不选3号,$P(Z|AS)=0$,则概率为1,这是因为主持人只有车子在2号门才不得不打开3号门的情况。

 

这是Morgan等四位美国数学和统计系的教授在《American Statistician1991年论文【7】中基本逻辑的简述。用贝叶斯推断来考察这个具体例子,说明了即使是vos Savant的标准问题,大家的答案也都有道理,到底是哪一个答案对,取决于主持人选择时的一念之间。这是学术界形式逻辑派的绝地反攻,对Vos Savant的逆袭!

 

那么实验统计和Vos Savant的样本空间证明【说法3】又错在哪里?

 

(待续)

 

 

【参考资料】

【1】       Selvin, Steve (February 1975), "A problem in probability (letter to the editor)", American Statistician 29 (1): 67 http://www.jstor.org/discover/10.2307/2683689?uid=3737864&uid=2&uid=4&sid=21101099694733

【2】       Selvin, Steve (August 1975), "On the Monty Hall problem (letter to the editor)", American Statistician 29 (3): 134 http://montyhallproblem.com/as.html

【3】       WikipediaMarilyn vos Savant http://en.wikipedia.org/wiki/Marilyn_vos_Savant

【4】       维基百科,蒙提霍尔问题http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%92%99%E6%8F%90%E9%9C%8D%E7%88%BE%E5%95%8F%E9%A1%8C

【5】       WikipediaMonty Hall problem http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

【6】       vos Savant, Marilyn (1991a). "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 12 (17 February 1991). http://marilynvossavant.com/game-show-problem/

【7】       Morgan, J. P., Chaganty, N. R., Dahiya, R. C., & Doviak, M. J. (1991). "Let's make a deal: The player's dilemma," American Statistician 45: 284–287. http://www.its.caltech.edu/~ilian/ma2a/monty1.pdf

 



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