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蒙提霍尔问题(1)——直觉与计算 精选

已有 23870 次阅读 2013-3-11 07:00 |个人分类:科普|系统分类:科普集锦| 智力, 贝叶斯, 概率, 蒙提霍尔问题

概率的概念就像信念一样,存在于人们朦胧的直觉中,经过学校教育,表面上以为了解了,常常又与不同角度出发的直觉冲突矛盾,必须经过更深入的考察思索才能够理解。

 

蒙提霍尔问题的热议,便是一个例子。还没有一个简单的概率问题,长时间地迷惑着这么多的民众和学者,越是深入思考越发现问题。自19901991年纷起热议之后到了2000年,有超过75篇关于这个问题的论文发表在40多种学术和公众刊物上。两种结论反复交锋,不同观点一直纠缠,英文Wiki被双方不断更新资料的编辑之战折腾着。有的错误一直到了现在才发现。二十多年过去了,至今还偶尔在论文、书刊和电视上讨论。在公众书刊和百科中混杂着许多简单化似是而非的介绍。

 

我不想重述争议的细节和对错的结论,只是通过剖析典型的说法和认知的反复,来促进对概率概念和数学模型的理解。

 

蒙提霍尔问题(Monty Hall problem)【1】是一个概率猜谜游戏。19909Craig F. Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题:

 

在蒙提霍尔游戏节目中,让你在三扇关着的门中选择,知道一扇门后面是跑车,其他俩都是山羊,当然希望选中赢的是跑车。当你选择后告诉他,比如说1号,主持人知道车在什么地方,他打开另外一扇门,比如说3号,是羊在那儿。然后问你,要不要改主意选2号。问:改选是不是更有利?

 

大多数人认为改不改都一样,因为没打开的两扇门后面,有车子的可能性都是1/2Marilyn vos Savant认为1号门的可能性是1/32号现在有2/3。她给人们一个直观的想象:假如有辆车在一百万扇门中,你选了1号门,主持人知道车子在哪里,所以打开门时总是避免它,结果他打开了其余,除777777号之外所有的门,这时,你是不是很快改主意,选它了?【说法1

 

这个专栏写手Marilyn vos Savant是吉利斯记录中拥有最高智商的女人,IQ 228。她在Washington University in St. Louis哲学系上了两年大学后,就退学挣钱,以便有自由来写作。

 

她的答案打击了大多数人们的直觉,当即收到几千封读者的反驳,11月著名问题专栏作家的Cecil Adams也在他“The Straight Dope”专栏里讨论这个问题,持相反看法。第二年《纽约时报》在头版登出这个问题,并且访谈了这问题中的节目主持人蒙提霍尔。他也不认可。vos Savant仍然坚持原来的答案。她摊上大事了,报社收到了一万多人来信,92%认为她错了,65%来自大学的信,多数是来自数学和科学的院系,都反对她的答案,认为这只是女人的直觉,劝她修了概率课后再谈这问题。其中有一千多个署名上有博士学位。即使她重申主持人必须打开有羊门的假设,提供了进一步证明后,仍被大多数有学问的人怀疑。没有被她说服的名人包括Paul Erdős2】,他是最多产的数学家,研究的问题包括组合数学、图论、数论、经典分析、逼近理论、集合论和概率论。

 

反对者的直觉是:主持人打开了一扇门,里面是羊,这将三个选择去掉一个,一辆车子和一只羊分别在剩下两扇没打开的门中,它们各有1/2的概率是车。

 

vos Savant反驳说,如果一个UFO在主持人打开门后降临,看到两扇关着的门,外星人会同意这个概率1/2的结论,因为她缺乏这两扇门是怎么被留下来过程的信息。

 

有人用贝叶斯公式推出条件概率:假如A表示车子在1号门的事件,车子可能在任意一扇门后,所以它的概率P(A)=1/3H表示主持人打开有羊门的事件,三扇门中两扇门后是羊,概率P(H)=2/3;记P(AH)为车子在1号门后而且主持人打开了有羊门的概率;如果车子是在1号门,打开是羊门的条件概率P(H|A)=1,则有P(AH)=P(H|A)P(A)=1/3;那么主持人打开有羊的门后,1号门后面有车子的条件概率P(A|H)= P(AH)/P(H)=1/3/2/3=1/2,这和大家的直观看法一样,这时没打开的那扇门(2号)有车的概率也就是1/2,所以换不换都一样。人们推论:主持人打开了有羊门的事件,减少了对1号门是羊的猜测,提高了1号门有车的概率,vos Savant的论断中坚持1号门的概率不变是错误的。【说法2

 

看到不能说服读者,Vos Savant在专栏中画一个表,继续为她概率2/3的结论辩护。这里假设:客人先选1号门,主持人在23号中打开有羊的门。【3】这个表包含了所有的可能,不难看出换门赢的机会是不换的两倍。【说法3

 

 

1号门

2号门

3号门

不换的结果

换的结果

赛局1

赛局2

赛局3

 

维基百科上论证说【1】:“可以用逆向思维的方式来理解这个选择。无论参赛者开始的选择如何,在被主持人问到是否更换时都选择更换。如果参赛者先选中山羊,换之后百分之百赢;如果参赛者先选中汽车,换之后百分之百输。而选中山羊的概率是2/3,选中汽车的概率是1/3。所以不管怎样都换,相对最初的赢得汽车仅为1/3的机率来说,转换选择可以增加赢的机会。”【说法4

 

这个说法看起来犀利无比,但总是让人不放心,觉得过于简单化,给人感觉像是“两个信封的问题(Two envelopes problem)”【4】里的逻辑

 

让你选择两个装钱的信封,已经知道一个比另一个多了一倍的钱。当你拿了一个还没打开时,有人劝你:另一个可能多一倍,也可能少了一半的钱,两种情况机会均等,平均起来另一个是手里那个1.25倍,所以换了还是合算。

 

问题是,你要拿了另一个也可以作同样的推理,这显然是个悖论。

 

这里有两个观点:大多数人认为,打开一扇有羊的门,这事件改变了其他门的概率,现在2号门有车的概率是1/2vos Savant这边少数人认为,这不改变1号门的概率,所以2号门现在概率是2/3

 

这两个观点,四种说法,到底哪些错了?为什么?

 

(待续)

 

【参考资料】

【1】       维基百科,蒙提霍尔问题http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%92%99%E6%8F%90%E9%9C%8D%E7%88%BE%E5%95%8F%E9%A1%8C

【2】       WikipediaPaul Erdős http://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Erd%C5%91s

【3】       vos Savant, Marilyn (1991a). "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 12 (17 February 1991). http://marilynvossavant.com/game-show-problem/

【4】       WikipediaTwo envelopes problem http://en.wikipedia.org/wiki/Two-envelope_paradox


 



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