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怎样才能挑战数学权威——也谈《统一无穷理论》

已有 10879 次阅读 2013-3-8 06:58 |个人分类:科普|系统分类:科普集锦| 数学, 无穷, 集合论

前些天写了篇《无穷大能比大小吗》,原是解答网友“为什么无理数比有理数多”的问题,给关心无穷集合问题的人,普及一下最基本的概念和逻辑,好用自己脑子想通这些不算难的问题,不再会被网上广征博引的公理语录吓住了。

 

这两天到网上一搜,发现还真有人对这些基本的问题不明白,也有提出挑战的,其中最新鲜热辣,整出点动静来的是《统一无穷理论》。这是一本书,看了简介和目录后,我就明白为什么玩数学的人都不啃声。这主题是个简单的数学问题,但要评论就得看这一厚本,你要赔不起这时间,除了这标题就不知道该说什么。我原来也不想凑这热闹,只是刚写了篇无穷集合的普及文,不好意思不说两句。幸好陈绥阳教授花了一个月看完这书,写了篇博文《千虑一失,一百得》是压缩过的注记。再看了几篇作者的介绍和辩驳【1】,本着数学抽象的原则,略过故事、哲理、联想、展望、感叹、形容词、副词,直接抓住有关数学的核心命题,作者何教授说:

康托尔理论不对,无穷集合只有一种势 $2^{\aleph_{0}}$=$\aleph_{0}$

 

他的证明是“无限倍增法生成的实无穷层满二叉树可与自然数集一一对应”,网上查到这个方法介绍,原来他用一种构造方法,生成(01)区间的实数,树的每个节点对应着有限小数,无穷分支处的叶片对应着无限循环的有理数和无限不循环的无理数,这样这区间内的所有实数都可以用树的节点和叶片来表示。现在从树根处起对应1,第12个节点,对应23,第24个节点,对应……,逐层逐个点过,直至无穷,岂不是将这所表示的实数与自然数一一对应起来?作者说:这证明实数的势也是$\aleph_{0}$

 

这里的问题是:这个对应的过程中,始终只把一个自然数对应到一个有限的小数,还没有一个无理数被一个自然数对应到,更谈不上全体。就是说,没有证明一个无理数被这样的规则对应到。所以这证明只能说实数的势大或等于$\aleph_{0}$。他可能抗议,有理数可数不也是这样三角形曲折法逐个对应过来证明的?有理数的确也是这么走,两个可数集的笛卡尔积可数也是用类似的手法证明,但是它们构造的对应规则都保证这个映射是满的,也就是说,给出任何一个具体的有理数,或者笛卡尔积里的一个元素,都在这规则下有一个自然数和它对应,你都能确切的知道是有这个自然数。这才是双向的一一映射,而他的这个对应规则做不到。

 

“如果允许无穷序列,实数可以用01序列表示”,这说法比较靠谱,应该是他的核心思想。这个数学模型是:每个实数对应着一个整数的一个子集,这在我那普及博文里提到:

 

实数可以用01来表示,每一个实数中的数字为1的位数集合,比如说10.101,一一对应着整数的一个子集,例如这个是{2-1-3},也就是实数与可数集上所有子集集合的势相等,$c=2^{\aleph_{0}}$

 

然后用康托尔定理可以推出$c=2^{\aleph_{0}} > \aleph_{0}$。所以何教授这个理想模型的构造方法,只不过说实数与自然数子集的集合等势,并没有证明康托尔理论不对,他不承认康托尔说的$2^{\aleph_{0}} > \aleph_{0}$,这就绕回来了。

 

要证明康托尔说的不对,就要挑出康托尔证明错在哪里。其实康托尔定理的证明也很简单,不需要什么预备知识就能读懂,这定理是General Topology2】,第一章里的一道习题,我把这作业再做一遍写在下面:

 

康托尔定理(Cantor’s theorem):集合$A$上所有子集的集合$\mathcal{P}(A)$的势要比$A$的势大,即$|\mathcal{P}(A)|>|A|$。换成幂集的符号便是$2^{|A|}>|A|$

 

证明:设$a\in A$,令$F(a)=\{a\}$$\{a\}\in\mathcal{P}(A)$,则$F$$A$$\mathcal{P} (A)$的一一映射,所以有|$\mathcal{P}$(A)|$\geqslant$|A|。假如|$\mathcal{P} (A)|=|A|$,这就存在着一个一一满映射$G: A \rightarrow P(A) $,对于每个$x\in A$,记$A_x=G(x)$,则有$\mathcal{P}(A)=\{A_x|x\in A\}$,定义$A$上的子集$B=\{x \in A|x\notin A_x\}$,则$B\in\mathcal{P}(A)$,按照假设,有一个$y\in A$,使得$B=A_y$,这时候问:$y$是不是属于$B$?如果答是, $ y \in B$,按照$B$的定义则有$y\notin A_y$,由$B=A_y$,所以$y\notin B$,反过来通过等式和$B$的定义也推出矛盾。这两者皆不对,按照排中律这是不允许的。按矛盾律,这假设不成立。所以|$\mathcal{P}(A)|>|A|$

 

这里只需要集合和势的定义以及逻辑。在集合$A$是可数集时,便有$2^{\aleph_{0}} > \aleph_{0}$。如果你对这抽象的逻辑有点吃力,那建议看我的普及博文《无穷大能比大小吗》,用对角线法来证明实数的势是不可数的,那里解说得不厌其烦,只要有中学程度懂得逻辑,心思澄明就能理解。这是康托尔定理的一个特例,但也够了。

 

要说康托尔错了,如果反例不给力,就要指出康托尔证明错在哪里。据说那文章也“对康托尔对解线法进行了细致的分析”,我没看到作者在这简单证明里挑出什么毛病来。好像是不喜欢这样的证明方法,不直观。要是这样子,他只要说“不接受反证法的证明”这句话,玩数学的都知道是什么意思,也不用写一本书了。

 

早在1908年数学直觉主义的创始人布劳威尔,就以反证法不直观,反对在无穷集合使用逻辑中的排中律,他主张无穷集合只有一种势,就是可数的无穷,同何教授说的一个样,在一百多年前。不过他是数学家,明白反对一种证明方法的理由,也必须一视同仁地对数学的所有证明,他反对在无穷问题上使用逻辑中的排中律。

 

提倡直观,谁都喜欢,但要否定了逻辑中的排中律,你能想象现代数学还剩下什么吗?连布劳威尔赖以成名的不动点定理,自己也是依赖于反证法来证明!一百多年过去了,主流数学没有接受这个观点,也有一些数学家沿着直观主义和比较温和的构造主义做探索,都成绩寥寥。但他们还是讲逻辑的,他们的直观是要求构造性的数学证明。

 

连续统假设,几个公理的数学界讨论,和这实数是可数的问题根本是两回事。连续统问题争论的是:自然数和实数之间还有没有其他无穷集的势。把这样的事混为一谈,能受玩数学的人待见吗?数学证明不需要旁征博引,追求的是抽象简化,只用逻辑推理来分是非。

 

有人反对这样的抽象和推理,认为这是书呆子,形式逻辑,举出一些悖论的推理来,说明是荒谬绝伦。抽象地略去这话的贬义和情绪词,这说到了点子。数学就是用形式逻辑把给定的假设推到极致,这里不能参杂任何个人的想象和情绪。悖论的意义是在磨砺和检验你的智力,感到荒谬是因为推理的结果和直觉的常识相矛盾,这里的错不在于逻辑的规则,而在假设、推理和常识三者之间,如果前两者没有错,需要修正的是常识。不接受形式逻辑的证明,那就不是数学,是浮想。

 

网上又查一下,现在何教授也不反对康托尔证明的逻辑,只反对他的概念,说这概念不符合客观实际。他的实数是理想计数器里的概念,他认为“现在的数学家习惯于不管基本概念是否符合客观实际,只管逻辑推理是否正确,这是十分片面的。”(他在跟帖里的原话)

 

这是把数学家当作物理学家和工程师了,纯数学确实只管逻辑推理,而不在乎前提是不是客观实际。那个是搞应用人的事。你最多只能抱怨自己所会的那些数学不好用,不会用。何教授的理想计算器模型里,如果不是数学里面抽象的实数,谈的就不是那个数学问题了。

 

要真正挑战数学难题或者已有结果,最好的办法是尽可能简练地把数学问题表述出来,提出证明或者反证。其他无关的一慨不用说。如果有几个问题,一个一个地谈,尽量明确,对就是对,错就是错,不要打包混为一谈。这样或许会让数学界的人关注,或得评点,或者接受,或者拒绝,这样都比在外边叫嚷更有意思。数学玩的是逻辑,除此之外别无原则,如果你的逻辑不能让人读懂,或者你读不懂有关基础知识的逻辑,那就无法交流了。

 

认为数学公理必须是真理的,那是几百年前的事了。自从出了罗巴切夫斯基的非欧几何后,数学界都明白,公理都只不过是一种假设,现代数学家毫无敬意地审视原来的公理,将它们切碎重组,以便具有最大的功利。现在的数学公理都是非常一般和广泛,直达人类理性可以分辨的最基本概念和命题单元。称为科学的一切逻辑推理的成果都建造在这个数学基础上。

 

那数学家对公理的争吵,数学的悖论,哥德尔定理是怎么回事?

 

数学也像其他科学一样不断地发展上层和修补基础。基础的公理如同物理中的原子,现在又用基本粒子来解释了。所不同的,物理用实验来判别正误,数学所凭的只有逻辑,寻求基本假设的自洽和效益。

 

经过几千年的发展,我们现在住在一座豪华的数学系统大厦里,地基有点疵瑕和裂纹,这只有最犀利的逻辑和极致的思辨才能觉察,数学家正在讨论怎么修补它,这是个细致活,必须考虑到方方面面,和对已有系统的影响。这事几千年来都不断有,对逻辑粗放些的上层科学研究和日常活动影响不大,只不过现在资讯发达了,嚷得大家都知道,你不会因此跑出去住帐篷,或者提个大榔头来帮忙吧?

 

【参考资料】

1】《统一无穷理论》评论园地http://wenqinghui163.blog.163.com/

2Stephen WillardGeneral Topology Addison-Wesley1970

 



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