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生活中的数学问题争论(含解答) 精选

已有 30780 次阅读 2013-2-27 08:05 |个人分类:科普|系统分类:科普集锦| 数学, 智力, 趣味

前几天科学网上讨论数学的作用,我在几个跟帖里强调:“数学是研究逻辑能够走多远的学问”。很多人以为数学就是整那些谁也闹不懂,没什么用处的问题;以为学数学就是记住几个公式定理,在论文中装饰一下,实践中未必有用。其实数学训练中最重要的,是概念把握和逻辑推理,而不是怎么计算。你学习数学时如果只对付考试,也许就忽略了这最重要的功能。这个解题能力并不是要考虑很高深的问题时才会遇到,其实在生活中也很常见。这里有三个简单的问题给你一个测试。

 

问题1:有人问葱多少钱一斤?卖葱的说:1块钱1斤,这是100斤,要100元。又问葱白跟葱绿分开卖不卖?答:卖,葱白7毛,葱绿3毛。买葱的人都买下了。切段称了下,葱白50斤,葱绿50斤。最后结算,葱白50x0.7=35元,葱绿50x0.3=15元。35+15=50元。给50元就走了。卖葱的人纳闷了,为什么原来100元的葱,拆开就卖50元呢?

 

另一个是:

 

问题2:猎人看到树上一只松鼠,猎人绕着树走一圈,松鼠趴在树后面也跟着转一圈,始终没让他看到它背后。问:猎人绕树转了一圈是不是也绕着松鼠转一圈?一个观点是:当然了,绕着树转一圈也就绕着树上的松鼠转一圈。另一个说:既然他绕着松鼠转一圈,为什么即使没有被树挡着,猎人也看不到它的背?

 

再算一道题:

 

问题3:一个商人骑一头驴要穿越1000公里长的沙漠,去卖3000根胡萝卜。已知驴一次性可驮1000根胡萝卜,但每走1公里驴要吃掉1根胡萝卜。问:商人最多可卖出多少胡萝卜?

 

也许有人见过这些题,作为科学网里的数学讨论题,还是要有点新意的。大家可把自己的答案贴在评论。如果想过了这问题还好奇还有什么新意,后天再来看这个帖子更新后贴的解答

 

【声明】文中的题目是有目的那样叙述的,因为要在后天揭晓,所以一般不回复评论。谢谢!

 

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【解答】贴于评论74,点击6268

 

感谢大家热情的参与和解答,不少朋友已经有了很好的或近乎正确的答案,但还是有不少落入博文设计的目标,或启发了兴趣,这让我写下面的博文,不会是无的放矢。

 

博文中的三道题是为了说明:“数学训练中最重要的是概念把握和逻辑推理”,这里给了从很简单的混淆概念、不明定义到怎么应用逻辑的问题,来引发大家思考。下面的引文不是针对跟帖评论中的任何人,只是编辑典型的事例来说明观点。

 

有人说:“这葱白和葱绿一样重,可能吗?有这么傻分开卖的吗?这不是来自生活实践的问题!”

 

那说成葱白10%和葱绿90%,猪肉切开按部位卖,问题的本质有什么不同?数学抽象的训练让我们只关心问题的本质,有能力忽略掉不相干的细节,直接思考有意义的内容。

 

“这也能叫数学问题?数学最基本的‘概念、条件’都没说清楚。。。数学是严谨的科学!”

 

这是我最想表明的:数学的训练是让你自己能够发现、把握这个“概念、条件”,而不是像应试那样等着考题来规范。考试题目的严格规范,是为了测试你对课本内容的记忆和了解。生活和工作是应用学到的知识,这要求你有能力把各种问题,规范成能用数学解决的概念(模型)和条件。

 

更多的评论,在下面解答这些生活中的数学问题里展开。。

 

问题11块钱1斤的葱,拆成葱白7毛,葱绿3毛,是指1块钱的葱分成两部分,其中葱白值7毛和葱绿值3毛钱,而不是葱白单价17毛,1斤葱绿3毛。这卖葱的混淆了价值和价格两个概念,所以计算出错。100斤葱里,如果是对半分成葱白50斤和葱绿50斤,那它们的单价分别应该是146毛。谁都知道那结果荒谬,但错不在于故事是否真实,而是故事演示一些逻辑给你看,让你准确判断错在哪里。概念清楚了,计算才不会出错。

 

问题2:什么叫做“绕着转一圈”,在这问题里两种观点没有一致的定义。科学网上很多问题的争论也像是这样,概念含糊不清。日常生活中许多词都是含糊的,没有确切的定义。威廉·詹姆斯在《实用主义》书中以这个“猎人和松鼠”的例子说明,很多争论其实只是语义上的分歧,一但含糊不清的术语被精确地定义,激烈的争论就变得很无谓。数学训练的基本功是抽象能力,争论时应该善于滤去形容词、副词、情绪话语直达内容的本质,讨论有明确定义论点上的分歧。

 

问题3这个问题网上有各种答案。性急的,说这是伪问题,1000公里驴子把驮的都吃完了,还卖什么?脑筋急转弯的,说先把驴卖掉,拿钱坐飞机把胡萝卜运去,这就能卖出3000根。讲爱心的,说这事要问驴子怎么看。虚心的,弱弱地问:“老大,驴子为什么要吃胡萝卜?”把它当作计算问题的回答是:

先运1000根到200公里处,放下600根,驮200根够吃的返回。再运1000根,到了200公里处补足吃掉的200根前行333公里,放下334根,返回到200公里处,取了200根吃着回家。第三次再运1000根,到200公里处扫底补足了路上吃掉的,到达333公里的第二站,这时离目的地还有1000-200-333=467公里,这里共有1001根胡萝卜,装上1000根,扣去路上吃的,运到时还有533根。

 

有人抗议:“你没告诉我沙漠可以停,堆在那儿也不怕兔子咬狐狸叼被人偷了呀?”

 

这是应试教育出来的书呆子,脑袋被门夹了,想问题时太呆,找借口时又太活络,就是不能整出点有意义的东西

 

有人笑了:“还没有证明533根是最多可以运到的胡萝卜吧?”

 

对头!这才是学了数学要提的问题。回答这问题,许多跟帖和外帖也给出不错的解释。我自己的思路是这样的:

 

用数学解决问题,合适的抽象化往往带来效益,这时若有特殊例外先记下来,然后检验或补救。这样一般都能事半功倍。我们先弄清楚优化的必要条件:

 

运输会消耗资源,要运最多的资源到终点,每次运输必须满载(例外:不可避免时),将不再回返地点的资源耗尽,来挪前其他的。不难证明,不满足这条件的方案一定还有改进的空间(例外:不能园整的小数部分)。所以最优方案就是消耗一些资源,把其余的全部往前移。

 

基于上述的要求,如果资源只有1000根胡萝卜,驴子满载走完这1000公里,也把它吃完了,运了0根。如果资源不仅如此,就能消耗一些建立中转站,最后的中转站离目的地不到1000公里,满载从这里出发扣去路上消耗的就是运达的数量。最大化运达数量,就是想办法让这最后的中转站,尽量靠近目的地。

 

考虑有1000N资源,这里N>1是整数,因为要满载及把留在出发地的资源耗尽,所以要运N次,往返共2N-1趟。要让下一程每次都能满载,这一程要消耗1000资源(不是1000的倍数,下程不能满载,多于1000的倍数,不如放在下一程往返更少的路程消耗,可以走更远),这得出这一程走的距离是1000/2N-1)公里(例外:出发地离终点少于这距离时)。假定驴子一次要吃一整根胡萝卜,这个里程数必须是把小数去掉的整数部分,记为[1000/2N-1]

 

因为这N次的运输已经把1000N的资源全部运离出发地,途中消耗了1000,所以将剩下的1000N-1)的资源全部运近了[1000/2N-1]公里处的中转站。只要不遇到例外的情况,重复应用上述的方法,不浪费资源地把剩余的全部移近目的地,到了N=1,可以将∑[1000/2n-1]n=2,…,N数量的资源运达目的地了。

 

将算法用到这具体的例子。不难验证它都不会出现例外的情况,那答案便是[1000/3]+ [1000/5] =533

 

这是一个构造性的通解,运法在证明中。优化的思路清晰,让你很容易进一步算出2000资源最多可以运达3334000675500078660008767000952,到8000时就会遇到最后一程可以走两次情况。这也不难就这一程考虑优化算法。至于更一般情况,出现了其他例外的情形时也不难在这基础上加细考虑。应用数学解决现实问题,按照需求不断加细才有效率。

 

“等等,题目中,没有说驴子是怎么一公里吃一根萝卜的,我在最后一个中转站让它先吃一根胡萝卜,然后驮1000根上路,这样到达时就运了534根!”

 

也对。既然题目没有局限,这说法有道理,也是个好答案。这想法也可用来细化通解。

 

“到底是533还是534正确?那卖驴空运的答案也在题目没有局限处,为什么就不行了?”

 

这个不同数字很重要吗?也许对考试是如此,但对做研究或应用,有意义的难点都在533的答案中解答了,它们的区别只是在没规范之处的细节处理不同。现实中的问题并不只是有一种答案,它们的区别只在于有没有意义。如果是找乐子的,搞笑的回答最好,如果是商业应用,实用性最有意义,脑筋急转弯欣赏创意,如果是数学问题,那就要有挑战性,能出漂亮的结果。

 

“这些问题都是些没什么意义的诡辩,来点有难度的真正数学问题,别耽误了我学习微分方程的时间!”

 

确实,想这类问题对考试,提职称没多大帮助,做出来了也不算什么成绩。但这是磨砺头脑的练习。连最基本的概念、逻辑、思想的严谨都分不清,还不屑一顾的,多是说数学没有用的人。这样的态度学了再多的微分方程,数学定理,不是用错了就是懵懂。最后还会怪用数学的方法都不灵。

 

数学其实就是告诉你从一组假定中,按照逻辑能够走多远。所以,第一,数学告诉你怎样进行严格的推理,推理的技巧和套路。第二,纯数学的研究是探讨非常基本观念(定义)和假设(公理),并以此为出发点,推出各种与之不矛盾的结果(定理)和系统(如微积分)。应用数学的人,如物理和工程,以事实或猜测为前提,抽象具体的问题成数学模型,用数学方法和系统,看看依逻辑能够走多远。或以此结果作为原来知识的推论,或是用实验检验之,来判断前提假设的正误。这就是数学在科学里的位置。从这个角度来看,数学永远不会过时,只要人类还用逻辑就需要它。

 



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