高斯说：“数学是科学的皇后”。数学一如皇后般的美丽高贵，优雅傲娇地俯看众生，超凡脱俗餐霞饮露，挑剔严谨犹如洁癖，但被万众视为品味，你不懂也得捧着。这让玩数学的高兴了几辈子。热闹过后，人们问，皇帝是谁？上窥天机下察世情为自然立法，挥斥在天地之间，是物理呀。皇后是女人可以信马由缰地设想作答追求美，物理像男人首要是直面现实。虽然如此，凡有争执，美色当前，大家多急于向她证明自己有品以示异见者无品，往往忘了问题是什么。人们对理论与常识相悖的探讨，往往也落入这种俗套。

通常模型出问题并不难办，只要理论与实践相异，调整修正，直至与已知事实和谐就是了。但是有时不觉模型有问题，数学方面无可挑剔，结果违反了常识，这有多大可能是爱因斯坦式的新发现？先看一个著名的例子。

巴拿赫-塔斯基（Banach Tarski）举了一个例子。大致说来，从实心球中的质点，按照围X或Y轴，左转或右转某个固定角度（例如arccos(1/3)）的一系列操作，可以串成一个无穷质点的链条。这些链条集合可以分成起始是围X轴左转，右转，Y轴左转，右转，不相交的4组，取出链条的起始点放在一起为e组，这样把球分割成5堆。现在挑出起始是右转的两堆，分别按它对应的轴左转回那个角度，这抵消了链条的第一个转动，露出第二个作为链条的起始转动，结果每堆形成了新的3组链条集合，取出新链条起始点分堆，按照两生成元旋转群的性质证明，它们与剩余的部分形成了两套同样的5堆分割，可以组装成没有缝隙与原来一样的两个球，详见【1】。

这个例子很有名，称为“分球悖论”或者“巴拿赫-塔斯基定理”。经过多年争论，人们确认它在数学上没问题。

但是，一个球切碎分割成5堆，组成球的质点分成了5个集合，球的重量和体积都是这5个集合的总和，一堆元素刚性旋转不会改变重量和体积，即使装配成的球没有缝隙，它们也不该有两个球的重量和体积。这是物理的常识。可按照这样方法分球构造，数学推理经过最严谨的审核也没问题！数学的结论与这常识相悖，物理学者还没天真到宣称，复制物质有了突破性的发现，而是意识到应用在物理世界的模型，可能出了问题。

牛顿的微积分，让人们习惯了，时空质量体积无限可分，从而能用微积分计算体积和质量，但这毕竟只是个便于计算的假设。虽然它在绝大多数情况下成果斐然，但在现实世界，真的一个球可以分割成无穷个质点组成的链条？这个无穷交错的分割是反映实际的模型吗？

人们最初没往这方面想，因为一堆旋转变出了几堆的推理在物理上太不可思议了，人们首先怀疑是数学推理有错，大家都在这找问题。实际上，这样的逻辑结论在无穷假设下，如果不是与物理直觉的抵触，在集合论上不足为奇。一个自然数集合，按奇偶数分成两堆，它们分别一一对应着原来的自然数集，[0,1]区间可以与[0,2]区间中的点一一对应，[0,2]区间分成两半就是与[0,1]长度相等的两个区间，分球那个旋转不过是玩法转的弯子多一点，让你觉得在物理上可实现。其实数学结论只是假设条件下的逻辑结果。匪夷所思要怪模型。确实，人们经常用无穷分割的模型来计算体积，这并不意味着它可以任意分割。最后，人们明白了设计模型，要有可测和不可测的概念。

上面谈的是较难发觉的模型错。如果模型没错，数学也没错，计算能否反映实际？看下面例子。

对一个经验上已经肯定的线性系统，需要用实验数据确认它的参数，经过推导，最后归结为，解一个线性方程组。

0.540x +0.323y = 0.863

0.647x + 0.387y= 1.034

不难精确解出未知的参数 x=1，y=1. 后来发现测量时略有误差，数值0.863修正为0.864，再解方程，这次竟然是 x=-386，y=648. 它们天差地别。

你让人们怎么相信这个结果？在数值计算中这叫做“病态条件”，模型的假设没问题，只是这普遍正确的模型在这数据条件下求解显得病态，它这时对数据的变动极其敏感，结果极不稳定，这也与计算精度无关，而是难以应用。

也许你认为这是计算有关的问题，严谨的逻辑推理结论会错吗？会，还很多，尤其是在智力对决的博弈上。

理性人的假设是博弈研究的基石。“最后通牒博弈”是这样：

有100块钱两人分，由一人提出方案，另一人表决，如果同意，那就按方案分；不同意，两人都一无所得。

弔诡的推理是这样的：无论提案给对方多少钱，表决人都会同意的。为什么？这好过一无所得呀！他是理性人，没有情绪，冷静明智，当然接受。好了，提案的那一方也是理性人，既然对方这么通情达理，他要最大化自己的利益，就分给对方一块钱，要是还有给一分、一厘或一毫的可能，还会给更少，反正对方是二百五理性人，给个比零大的数都会接受。所以结果应该是分给表决方一块钱，提案方得九十九块。

1982年德国经济系古斯等教授对这做了很多实验，证明世界上没有这样的二百五，大家纷纷鼓掌，说明理性假设破产了，心理学更管用的，一些非主流经济学更把它列为经典案例。

对这个例子，博弈学者少有评论。因为这简化模型没什么技术含量。更有挑战性是1981年的“蜈蚣博弈(Centipede game)”，这博弈说：

桌上有100块钱，两人轮流来取，最多一次取2块，无论谁这么做了，游戏就停止，大家各拿了归自己的钱回去；如果只取1块钱，则轮到对方来取，照同样的规则，直到钱取完。

这游戏才真正考验人性。最好最公平的结局当然是一共玩了100次，大家各拿50回家。但是用重复博弈常用的逆推法（Backward Induction）是这样推理的：当桌面上最后剩下2块钱时，理性自私的家伙甲肯定自己全拿走，反正我没下一次了，自己犯傻了才只取1块让另1块给对方下次拿。那退回一次，桌面上有3块时，聪明的家伙乙，想我要是只拿1块，剩下2块钱，甲不傻，一定全拿走，我就没下一次了，不如拿2块就此结束，这最合算。如此推理下去，第一个来玩的人一定是拿了2块钱，另一个连玩都没机会。一个拿2块，一个空手回家，结束了。

从理性的角度出发，得到看来很不理性的结果。从正常的心理思考，发现很不正常的心理。

逆推法是序贯博弈很常用的推理方法，这引发了博弈界的大辩论，领军人物都是博弈大师。他们是数学家、博弈理论学家、实验经济学的先锋Kenneth Binmore，和数学家、博弈界大佬、2005年诺贝尔经济学奖获得者Robert Aumann。从1987年正式开始以这个例子对逆推法展开十几年激烈的争论，至今还没有一个定论。

Binmore和Aumann的争论都不是质疑博弈理论基础的理性人假设，而是在争论逆推法能不能用在蜈蚣博弈里。博弈论是数学的一个分支，数学的本质是理性的，考虑的是合乎逻辑的结论。生活中的人可能不理性，但应用逻辑，怎么应用理性逻辑得出的定理在具体的实践中，是理性应用的事。

这些例子都是高端上档次的事件，现实中低级的错误更多，这说明别过分相信逻辑上无懈可击的结论，它的适用性，很可能在模型层次就错了。世界上很多大道理往往都是矛盾的，这样才足以覆盖各种情况，说爱情至上，有责任和道德来约束；说自由人权，公德法律和群体利益也不容忽视；网民往往各执一端吵得激情四射，自信真理在握，对方低能无脑，其实也不过是发泄情绪或闲极无聊，引经据典的逻辑多是自己认定观点的装饰。

想动脑筋玩些有技术含量游戏的朋友，下面的例子倒可以认真想一想。这也是个知名的悖论。

老师在周末告诉学生，下周有个考试，我不说是哪一天，只能告诉你这是意想不到的。

学生想老师已透露了玄机，我就可以做合理推测。首先，这不可能是周五，如果是这天，经历过四天没考试就能确定是这一天了，这不是意想不到的。排除了周五。依相同逻辑，从剩下四天中也能排除周四，如此继续，周三，二，一也依样排除。学生开心地认为老师只是开个玩笑，下周没有考试。结果在周三老师宣布考试，果然是学生意想不到的。

老师的话都是真的，学生的推理错了吗？为什么与现实不符呢？

【参考资料】

1. Wikipedia，Banach–Tarskiparadoxhttp://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Tarski_paradox

【解答】贴在点击650，评论18后

谢谢大家参与讨论。下面与大家分享有关解答内容。

“意外考试”是个著名的认知科学悖论，在几十年中外学术期刊上都有些论文来分析。在逻辑学，认知科学，哲学和博弈论上都有些讨论。在英文上多数以“Surprise Examination”或“UnexpectedHanging Paradox”为题。原因是不能以老师的话为根据来推理，因为“推理”和“意想不到”是矛盾的，一对矛盾的命题，可以推出任何结论，也能否定任何结论。如博文上一段所说，在模型层次就错的推理没有意义。博文《占卜和推理（1）》对此有进一步阐述。

“蜈蚣博弈”最大的争论在于能否应用“逆推法”。逆推法在序贯博弈中是很基本的推理方法，在下棋算几步就是根据逆推法。许多智力游戏，如“脏脸博弈”，“帽子颜色问题”，“绮丽儿生日”都是根据逆推法。但逆推法对给定条件极其敏感，结论很不稳定，作为智力游戏固然有趣，在应用上却是个病态模型。它引起大师级人物长期的争论，有许多精彩的攻防，并各自成果辉煌。有兴趣可见《从理性人的假设谈研究》的后半部及那里所附的参考文献。