《数学啄木鸟专栏》分享 http://blog.sciencenet.cn/u/wenqinghui 对错误的数学论点发表评论

博文

Zmn-1107 薛问天: 关于用数学归纳法对自然数公理五的证明,评一阳生先生的《1105》

已有 251 次阅读 2024-4-15 08:54 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

【编者按。下面是薛问天先生的文章,是对一阳生先生的《Zmn-1105一文评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神,对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意,也有些有严重错误的文章在这里发布,就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

 

关于用数学归纳法对自然数公理五的证明

评一阳生先生的《1105》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg先要说清楚,公理是不需要证明的。我们在这里所说的对公理的证明,是指公理的等价性的证明,不是在对公理进行证明。这里所说的证明,是指把数学归纳法作为自然数公理5,对【公理五: 任何自然数可由0经有穷次的后继运算而得到】,作为定理来证明,是在证明公理的等价性。

 

一,关于用数学归纳法证明【公理五: 任何自然数可由0经有穷次的后继运算而得到】。

 

首先要指出,一阳生文中分两种情况来证明【公理五】就是错误的。要证明【公理五】,就不能预先假定【公理五确实成立】。你假定它成立还证明什么。在假设公理五成立条件下,证明了 公理五成立。这算什么证明。

如果不是用反证法,也不能预先定【公理确实不成立】。用反证法是由此推出矛盾使命题得证。我们現在是用数学归纳法的证明不是反证法,当然不能作此假定。

一阳生先生说什么【薛老师不知道其不成立,主观上还是认为其是成立的。结果薛老师在假设其成立条件下,依然证明了.....】这一切都是在胡言乱语。如杲【公理五确实不成立】,薛老师就不会去证明,薛老师严格地用数学归纳法证明了【公理五】,就说明【公理五确实成立】无疑,而且这个证明不是【薛老师在假设其成立条件下】进行的证明。人人都知道【在假设其成立条件下】进行的证明算什么【证明】。

要知道一阳生先生所说的【后继运算能穷尽所有自然数】,就是【公理五】所说的内容: 【任何自然数可由0经有穷次的后继运算而得到】。所以一阳先生所说的【如果承认后继运算能穷尽所有自然数,那么您就能用数学归纳法证明所谓公理五(公理五就等于后继运算能穷尽所有自然数)。如果不承认所谓公理五,数学归纳法客观上就证明不了公理五。】在逻辑上是在说承认【公理五】就能证明【公理五】,不承认【会理五】,就证明不了【公理五】。这在逻辑上是相当混乱的。

 

从下面这段叙述来看,他说【因为我们尚且不知道后继运算能否穷尽所有的自然数,这种方法也不须要假设后继运算能够穷尽所有自然数。该方法只是在无休止的验证中。】说明一阳生先生对数学归纳法尚未完全理解。

什么是数学归纳法。数学归纳法是说对某性质P。当我们证明了P(0)为真,而且对任何自然数n,在假设P(n)为真的条件下可证P(n+1)为真,则证明了对任何自然数n,P(n)为真。数学归纳法的假定和结论中的【任何自然数】都要求【能够穷尽所有的自然数】。

请注意,这里有两句话都用到了【对任何自然数】。而且这里的【对任何自然数】是否要求【能够穷尽所有自然数】,必须是一致的。第一句是:【对任何自然数n,在假设P(n)为真的条件下可证P(n+1)为真,】在第二句中是:【证明了对任何自然数n,P(n)为真。】第一句中用的【任何自然数】是【能够穷尽所有自然数】,那么第二句结论中的【任何自然数】必然也是【能够穷尽所有自然数】,这应该没有问题。

好,现在我们来看用数学归纳法对【公理五】的证明。

如果定义P(k)=【自然数k可由0经有穷次的后继运算而得到】,显然要证明的【公理五】就是(∀k∈N)P(k)。

用数学归纳法,为了证明【对任何自然数n,P(n)为真。】就是要【证明P(0)为真】,而且【对任何自然数n,在假设P(n)为真的条件下,证明P(n+1)为真。】

【证明P(0)为真】不成问题,因为0是由0经0次后继运算得到的。关键是【对任何自然数n,在假设P(n)为真的条件下,证明P(n+1)为真。】

根据自然数公理2,对任何自然数n,n+1是由n经1次后继运算得到的。因而在假定P(n)为真,知自然数n是由0经有穷次后继运算而得到,n+1则是由0经有穷次加1次后继运算得到的。所以,仍是有穷次后继运算得到的。所以推出了P(n+1)为真。这就是【对任何自然数n,在假设P(n)为真的条件下,证明了P(n+1)为真。】

当然绝对不存在一阳生先生所说的【其中有一个k,使P(k) 真,P(k’)假,使得∃k(P(k) ⇒ P(k’))不成立。】难道会有这样的情况经有穷次后继再加1次后继,就不是有穷次后继了吗?当然确实是薛老师【发现不了k也不认为存在k,使得∃k(P(k) ⇒ P(k’))不成立。】

从而根据数学归纳法证明了【公理五】。

显然一阳生先生说【数学归纳法原理无法有效证明所谓公理五】,是错误的论断。

 

二,有穷性质的例子说明不了无穷集合的问题。

我发现一阳生先生的逻辑有些混乱了。要知道自然数集合是无穷集合,当然举有穷性质的例子说明不了无穷集合的性质。吃饭只能吃有穷碗饭,而且不可能吃任意有穷碗饭,更不用说吃无穷碗饭。用它当然说不清无穷的性质。

任何自然数n经一次后继即可得到n+1。如果P(n)为真,即自然数n可由0经有穷次后继而得到,显然自然数n+1也可由0经有穷次后继而得到,因为有穷次加一次还是有穷次,所以P(n+1)为真。不存在k,使P(k)为真且P(k´)为假,从而导致∀k∈N(P(k) ⇒ P(k’))不成立。

 

三,自然数集合是无穷集合。

一阳生先生说【命题【每个自然数都可由0经有穷次的后继运算得出】反直觉反逻辑。该命题告诉我们自始至终都是【有穷次】的后继运算,却运算出了或对应了全部【无穷个】自然数。】

这里的【自始至终都是【有穷次】的后继运算】没说准确。应该说清是【每个自然数是经过有穷次的后继运算而得到】,因为自然数有无穷多个,所以整个这个无穷集合的生成过程是无穷过程。所有自然数集合是所生成的所有无穷多个有限集合的并集。这里没有【反自觉】【反逻辑】的任何因素。

一阳生说【由0开始自始至终都是【有穷次】的后继运算只能得出【有穷个】自然数,得不出全部的自然数。】这是认识上的错误。每个自然数可经有穷次生成,但所生成的所有的自然数却不是有穷个,而是无穷多个。希望一阳生先生很快纠正这个认识上的错误。建议一阳生親自用无穷集合的严格数学定义证明【所有自然数集合是无穷集合】。

 

四,对自然数集合要有正确认识。

一阳生先生说【看到您这样写让我大感意外】。你的【大感意外】几个字,使我恍然大悟,原来问题出在你对自然数这个无穷集合,缺乏最基本的了解。你不了解自然数这个无穷集合是那些无穷的归纳集合中最小的一个。它的特性就是【每个自然数都是由0经有穷次的后继而得到的】。自然数集合的特性,它同其它归纳集合的区别,就是自然数集合有公理五而其它的纳集合不满足公理五。为什么2ω这个序数集合{0,1,2,...,ω.ω+1,...}不是自然数集合,就是其中的超穷序数ω和ω+1等都不能由0经有穷次的后继而得到。但是自然数集合{0,1,2,...n....}中的任何元素n都可由0经有穷次的后继而得到。这是自然数的特性,所以列为自然数的公理五。归纳集不要求满足这个特性,所以只有四个公理。

所以关键是一阳生先生设有正确认识和理解自然数这个无穷集合。自然数集合就具有这个特性,自然数有无穷多个,但每个自然数都是能由0经自穷次的后继运算而得到。

数学归纳法的证明要求对自然数集中的每个k 都有(P(k) ⇒ P(k’)),这就要求对这无穷集合中的无穷个k ,∀k∈N(P(k) ⇒ P(k’))。

 

五,自然数的定义(3)和公理五是一个意思,没有什么不同。

我在《1103》中说到集合论中对自然数的义: 〖(1)空集是自然数。

(2)若n是自然数,则nU{n}是自然数。

(3)所有的自然数都是由(1)和(2)得到的。

要知道这就等价于自然数的皮亚诺公理。因为公理3和公理4可由空集和后继的定义nU{n}的性质推出。而(3)就是【公理五: 任一自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到】。

一阳生先生说【您说:“…而(3)就是【公理五:…。” 您把这两个概念完全等同是错误的。】他是说我把【后继数】与【后继运算】这两个概念完全等同了。其实后继数就是由后继运算得到的数。没有什么概念等同不等同的问题。定义(3)说〖所有的自然数都是由(1)和(2)得到的。〗公理五说〖任一自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到〗,意思是一样的,没有什么不同。你说它的不同是什么?

 

六、关于向后归纳原理的证明。

最后再谈关于向后归纳原理的证明一阳生先生引的原文是【《陶哲轩实分析》第二章关于向后归纳原理的内容如下:设n是自然数且设P(m)是一个依赖于自然数的性质,它满足条件:只要P(m++)成立则p(m)也成立。假设P(n)成立,证明对于一切自然数m ≤ n,P(m)成立。此即所谓向后归纳原理。(提示:对变元n用归纳法。)】

可一阳生先生在《1105》中说【定理(向后归纳原理)。设P(m)是一个依赖于自然数的性质,它满足条件:对于任何自然数m,只要P(m+1)成立则p(m)也成立。设n是任意自然数,且假设P(n)成立,证明对于一切自然数m ≤ n,P(m)都成立。(此为您对向后归纳的理解,这是错误的。)】

我对照了一下,几乎字字不差。怎么说我【理解错误】,请问错在哪里?

一阳生先生进一步作了如下定义:定义Q(n)为【对于一切自然数m ≤ n,P(m)都成立。】于是向后归纳原理就归结为如下定理。

定理(向后归纳原理)。设P(m)是一个依赖于自然数的性质,它满足条件:对于任何自然数m,只要P(m+1)成立则p(m)也成立。于是对任意自然数n,如果P(n)成立,则Q(n)成立。

也就是说向后归纳原理是在说,对于满足条件(∀m∈N)(P(n+1)→P(n))下的性质P(m)来说,对任何自然数n,P(n)→Q(n)。

为了证明【对任何自然数n,P(n)→Q(n)。】我们用数学旧纳法对n进行归纳。下面给出具体证明。

当n=0时,假设P(0)成立,由于m≤0的m只有0一个数,而且P(0)成立,所以对于一切自然数m ≤ 0,P(m)都成立。即Q(0)成立。证明了P(0)→Q(0),从而证明了定理对于n=0时成立。

现在定定理对于n时成立,P(n)→Q(n),证明定理对于n+1时成立,P(n+1)→Q(n+1)。

显然如果此时假设对于n+1,有P(n+1)成立,就可根据性质P满足的条件,推出P(n)成立。再根据定理对于n成立的假定,推出Q(n)成立。这就有对于一切自然数m ≤ n,P(m)都成立。再加上P(n+1)成立,这就证明了对于一切自然数m ≤ n+1,P(m)都成立。这就是我们要证明的Q(n+1)成立。证明了P(n+1)→Q(n+1),从而定理对于n+1成立。

既然我们证明了定理对于n=0时成立,又证明了如果定理对于n时成立,则对于n+1也成立。那么根据数学归纳法,我们就证明了定理对所有自然数都成立。证毕。

 

下面我们来分析一阳生先生在证明中的错误。

他说【假设对于任一自然数n,若P(n)成立,则Q(n)成立。(要证明蕴含关系成立,只须证明前提成立时,结论也成立即可。)】

应用数学归纳法证明,是假设定理对于n时成立,证明定理对于n+1时成立。所以定理对于n时成立的这个蕴涵式P(n)→Q(n)是假定成立的,它的成立不需要证明。

他又说【对于n+1,我们只须在假设的条件下,证明P(n+1)成立即可。】这个说的也不对,证明定理对于n+1成立,是证明P(n+1)→Q(n+1),是在P(n+1)成立的假设下证明Q(n+1)成立,不是要去证明P(n+1)成立。这是一阳生先生理解的错误。

一阳生所说的【只要在假设下证明了P(n+1)成立,根据假设就会有【对于n+1,若P(n+1)成立,则Q(n+1)成立。】。进而假设成立】这些都是错误的理解。

一阳生先生之所以【产生了一个无解的问题】【证明不了】就是由于他理解的错误。根本不需要证明P(n+1)的成立。而是要证明P(n+1)→Q(n+1)。

 

我发現一阳生先生对语句的理解有问题,他说【薛老师的【设n是任意自然数,且假设P(n)成立。】,当然就是假设了∀n∈N P(n)成立。】

先生没引全,我的原话是【设n是任意自然数,且假设P(n)成立,证明对于一切自然数m ≤ n,P(m)都成立。】我说的是(∀n∈N)(P(n)→Q(n))。怎么一阳生先生把它理解为(∀n∈N)(P(n))了呢。这显然是很不一样的。如果我说【学校任何学生,假定这个学生是女生,可以证明它穿过裙子。】你能说【当然就是假设了全校所有学生都是女生】?

可見一阳生失生在向后归纳原理的理解中发生的错误,可能是由于他在对逻辑语句的理解上就有错误引起的。希望一阳生先生再做些认真的思考。把其中的逻辑关系搞得再清楚点。

 

 

【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項,来查找本《专栏》的其它文章。】



https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1429710.html

上一篇:Zmn-1106 林 益 : 关于自然数数列的分析
下一篇:Zmn-1108 薛问天: 要认清客观存在大量无穷过程,它不可半途中止,但却可整体结束和完成。评林益的《1106》
收藏 IP: 111.18.137.*| 热度|

0

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (5 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2024-5-24 21:43

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部