Zmn-0973 薛问天: 正确认识无穷的自然数集合的生成过程，评李鸿仪的《Zmn-0972》

【编者按。下面是 薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生《Zmn-0972》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

正确认识无穷的自然数集合的生成过程，评李鸿仪的《Zmn-0972》

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

关键还是李鸿仪先生逻辑思维的问题。特别是对无限的自然数集合的生成过程的认识。

(一)，无限的自然数集合是如何生成的。

对这个无限生成过程的认识非常关键，不少人常常在这里发生错误。

按照定义，任何自然数都是由0经有穷次的后继加1运算而得的。但是所有的自然数集合却是无穷集合。那么这无穷的自然数集合是怎样形成的呢。

人们都知道。自然数集合的生成过程。可以从空集{｝开始，先把初始数0含在集合中成为{0｝，再将0+1=1含于其中成为{0,1｝，将1+1=2含于其中{0,1,2｝，......。可以看出过程生成的集合都是有限集合，都有最大数，每一步把这个最大数的后继数增加进去，生成一个新的集合。生成的集合就是这样通过加1增加，步步增大。显然，这个生成过程进行有穷步，生成的结果是有限自然数集合。

当然，如果认为这种生成过程只能进行有穷步，认为进行无穷步的无穷过程不可以完成，那么就等于认为只能生成有限自然数集合，而不能生成无穷自然数集合。

有人认为这样的过程如果进行无穷步的无穷过程可以完成，完成后的结果就生成了无穷的自然数集合。请问这样的看法对不对？

我认为，仔细推敲，这种看法并不对。如果进行无穷步的无穷过程可以完成，完成后的结果只是生成了无穷个有限的自然数集合，而并沒有直接生成无穷的自然数集合。要知道在这个无穷步的生成过程完成后，所生成的是这无穷多个集合，全是有限集合，其中并无无限的自然数集合。对这个无穷步要有正确的理解，无穷步可以完成，但并不存在最后一步，或称为第无穷步。因而认为存在最后一步，这一步产生一个无限的自然数集合的看法是错误的。

正确的认识是存在一个无穷步的过程。通过无穷步的过程的完成，产生了无穷个自然数集合。但这些集合全是有限的自然数集合，其中并没有无限的自然数集合。那么这无限的自然数集合是如何产生的呢？这是最重要的另外一步。那就是由这无穷个己生成好的有限集合，求它们的总体并集。这个并集才是最后生成的无限的自然数集合。这才是无限的自然数集合的真正生成全过程。

李先生说【自然数是可以通过加1不断增加的，这个过程永远不会结束，而所谓全体自然数，只有当这个过程完全结束以后才可能形成，也就是说，只要这个过程还没有结束，自然数就会不断出现，当然永远不可能形成全体自然数。】

逻辑上要想得细点，【自然数是可以通过加1不断增加的】，这是指自然数在生成过程中，当生成的是有穷集时，才有最大数，才可以将此最大数加1，生成个数增大的另一有穷集合。也就是说这个无穷的生成过程没有完成时，生成的结果只能是有穷集合，才可使元素不断增加。但当这个无穷生成过程完成了，形成了无穷个有穷集，并通过并集生成无穷的自然集合后，不存在最大数，就不能通过对最大数加1，再使集合外延增加。成了外延确定的集合。而且可证这就是全体自然数的集合(見后面的附注)。

李先生说【其隐含的假设是:自然数加1增加的过程是可以终止的 】，

这不是【隐含的假设】。而是必须承认的事实。因为对于生成的自然数无穷集来说，由于没有最大数，己不再有加1增加的过程。因而对于无穷的自然集来说，加1增加的过程必须终止。不终止就形成不了无穷的自然数集合。加1增加的过程，只能对有穷的自然数集有效。因而不承认加1增加的过程可以完成，就不能承认无穷自然数集合的形成和存在。事实是，实踐经验告诉我们无穷的自然数集合确实是存在的。正是由于自然数集合的存在，才能产生整数，有理数，无理数，实数，复数等各种数系。

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为使论证严谨，特给出如下附注。

(1)给自然数定义序关系。对任何自然数a.b，a＜b，当且仅当存在n≠0使a+n=b。这里a+n=b的意思是指a经n次后继+1运算后得到b。

(2)，给自然数定义它表示的集合。对每个自然数n，令n表示的集合是所有小于它的自然数组成的集合: S(n)={xⅠx＜n｝。

即对任何x，x属于自然数n的表示集合x∈S(n)当且仅当x<n。

例如S(0)={｝，S(1)={0｝，...，S(n)={0,1,...,n-1｝，...。

显然在此定义下，自然数m<n当且仅当S(m)⊂S(n)。

(3)，传递集合的定义。一个集合A称为是传递集合，当且仅当，若x∈A，则所有比x小的数都属于A，即对任何y，若y<x则y∈A。

显然，所有自然数表示的集合都是传递集合。在自然数生成过程中生成的自然数集合都是传递集合。

(4)，有限集合的定义。称一个集合A是有限集合，当且仅当存在一自然数n，使A同n表示的集合S(n)一一对应。

显然任何自然数n表示的集合S(n)是有限集合。

(5)，无限集合的定义。称一个集合是无限集合，当且仅当它不是有限集合。可证对任何无限自然数集合A，如果有某n∈A，则必有m∈A，使n＜m。

(6)，自然数集合的生成过程。可以从空集{｝开始，接着初始数0含在集合中成为{0｝，再将0+1=1含于其中成为{0,1｝，1+1=2含于其中{0,1,2｝，......。可以看出所有生成的集合{0,1,2,...n-1｝都是有限的传递集合。它有最大数，而且这个集合就是这个最大数的后继数n表示的集合S(n)。

这个形成过程是个无限过程。如果这个无穷过程没有完成时，所生成的是集合都是有限集合。只有在无穷过程全部完成时，所有这无穷个有穷集才全部形成，所有这无穷个有穷集的并集才是无穷的自然数集合。由于可证传递集合的并集也是传递集合，所以可证所生成的无限自然数集合是传递集合。

(7)，可证所生成的无限自然数集合N是全体自然数集合。

证明。设任意给定的自然数n，现在证明n∈N。由于N是无限集，从而必有m∈N，使n＜m。但由于N是传递集，当m∈N且n＜m时必有n∈N。故命题得证。证毕。

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(二)其它问题。文章还论及其它一些问题，现评论如下。

1，只要对任何一个无限自然数集合作为A，证明A1是A的真子集都行。

李先生说【我定义的A只是包含了无限多自然数1,2,3……的一个集合，并没有说是包含了所有自然数的集合。】

问题在于李先生在逻辑上没有搞清，我们要证明的是〖存在着无限集合，能同它的某真子集一一对应〗。是〖存在着无限集合〗，如果A没有包括全部【A的元素乘以2后得到的自然数】，当然证明不了A1⊆A。但是如果A中包括了【A的元素乘以2后得到的自然数】，那么证明不就完全正确了吗。所以说如果我们就选择满足条件(1)1∈A，(2)对任何x，如果x∈A，则2x∈A，的无限自然数集合作为A，就证明了上述事实。

实际上所有自然数的集合就满足上述两个条件，所以如果我们选A是所有自然数的集合。当然上述事实就可得到严格的证明。我们早就说清了，A是【所有自然数的集合】，根本不是李先生所说的A【只包含部分自然数时(易证部分自然数也可以是无限集合)】。

2，否定无穷公理就是否定无穷集合的存在。

李先生为了要反对我们的证明，就提出说不存在【所有自然数的集合】，既然不存在，A就当然不能是它。

要知道，所有自然数的集合的存在是由集合论的无穷公理和分离公理推出的。于是李先生为了否定【所有自然数的集合】的存在，就以否定无穷公理作为他论证我们证明错误的依据。

可是李先生在这里反对无穷公理就使李先生的逻辑陷入一片混乱。一定要先弄清，无穷公理说的是什么，无穷公理断定的就是无穷集合的存在。

李先生说【无限集合的部分元素仍然可以是无限集合】，【研究无限集合并非一定要无穷公理。】这是不对的，无穷公理说存在归纳集合，所谓归纳集合就是一种基本的无穷集合，而且任何无穷集合都存在一个子集合是归纳集合。无穷集合的存在就断定有归纳集合的存在。你否定无穷公理就是否定无穷集合的存在。否定无穷集合的存在，就是只承认集合是有限集合不承认有无限集合。

我们讨论的题目就是〖无限集合，能同它的某真子集一一对应〗。如果你连无限集合的存在都不承认，还讨论什么。

3，李先生所说的【任何无限集合的元素数目都一定是比起真子集多的】早已被发現不是事实。而被严格证明的〖存在着无限集合，能同它的某真子集一一对应〗才是事实。

所以关键就看证明的对错。李先生要否定这个事实，必须具体谈出你认为〖同A一一对应的A1不是A的真子集〗证明有错的具体理由。

对于无限集合属性，必须通过严格的数学推理来证明，不能靠他说的 这个主观臆想的错误【事实】。

而李先生却常是用这个【事实】来作推论，且看他是怎样【严格证明了A1不是A的真子集:】，他这样说: 【如果A1是A的真子集，它的元素数目就必须比A少，但是实际上A1和A的元素数目是精确相等的，所以A1不可能是A的真子集。所有认为A1是A的真子集的说法或“证明”都必然是错的。】

显然这样是不行的。数学的推理和证明，不能靠李先生说的 这种主观臆想的错误【事实】。对于无限集合属性，必须通过严格的数学推理来证明。要否定一个证明必须指出证明的推理哪一步是错误才行。

李先生说来说去都是这句话:【任何真子集都可以看做是原集合当中挑选部分元素组成的，它的元素数目怎么可能与原集合是相同的？】

这就是李先生一直在强调的错误认识。要知道这就是李先生沒有认识到的无穷集的特性，无穷集的真子集就是由原集的部分元素组成的，但是它的元素数目就有可能同原集的【元素数目】相等，这就是无穷集合的特性。李先生想違背这一特性去定义一个，【李氏元素数目】，让其滿足【任何无限集合的元素数目都一定是比起真子集多】的条件，结果是矛盾重重，不得不宣告以失败而告终。

而康托尔建立的基数理论才完成了为无穷集合的元素数目建立真正数学定义的任务。得到广大业界的认可。

4，李先生关于弹性集合论述的很多属性，都是有限集合的属性，而不是无限集合的属性。

我们讨论的〖集合能同它的某真子集一一对应〗，〖存在双射的两个集合，不一定任何单射都是双射：〗指的都是无限集合。而不是有限集合。但李先生弹性集合论述的很多属性，都是无穷多个有限集合的属性，而不是无限集合的属性。对此我己作了比较详细的论述。

我们来帮他分析一下，谈谈李先生的【弹性集合】，㸔看它说的倒底是什么内容，。

李先生写道【设N={1,2,3,...n}则N1={y丨y=x-1，x∈N}={0，1，2，3，...,n-1}，】

弹性集合N表示为{1,2,3,...n｝，这个符号是什么意思，说明两点，第一，n是以正整数为论域的变量，所谓变量就是可以取论域中的常量为值。第二，当变量取某正整数k为值时，N是一个有限集合Nk={1,2,3,...,k}。

弹性集合N1表示为{0,1,2,...n-1｝，这个符号同理也说明两点，第一，n是以正整数为论域的变量，可以取论域中常量为值。第二，当变量取某正整数k为值时，N1是一个有限集合N1k={0,1,2,...,k-1}。

说明李先生的【弹性集合】是这样表示的，弹性集合A表示为A是An，其中n是正整数变量，当n取值为k时，An=Ak是个有限集合。

请注意李先生所写的

【N1={y丨y=x-1，x∈N}={0，1，2，3，...,n-1}，】并不正确，其中并不是N1=这个集合，集合中也不应是x∈N。由N经双射y=x-1变成N1，由弹性集合{1,2,3,...,n｝变成{0,1,2,...,n-1｝，实际上是对任何k，使有限集合Nk变为N1k={yⅠy=x-1，x∈Nk}，才使弹性集合{1,2,3,...,n｝变成{0,1,2,...,n-1｝，因为这里的x∈Nk是属于有限集合，是有定义的。而李先生写的【N1={y丨y=x-1，x∈N}】，其中的【x∈N】，属于弹性集合并无定义。而事实上也是指的对于每个k的有限集。因而可以看出，李先生所应用的映射都只是对任何k的有限集Nk到N1k的映射。

另外。李先生所说的【N1的元素数目与N精确相同】，也都是指对所有的k，当k相等时有限集Nk同N1k元素数目的相同，而N和N1都没有确定的元素数目，谈不上【元素数目】的精确相同。

李先生说【N到N1的y=x并不是单射，这是因为，任何N→N1的单射，每一个N中的元素都必须在N1中有象，但N中的n在N1却没有象，】

李先生论述的错误在于，他所说的【N到N1的y=x并不是单射】，所说的y=x不是单射，实际上指的是对任何k，它不是这两个有限集Nk到N1k间的单射。

也就是说李先生说的【弹性集合】，并不是【无限集合】，他说的【弹性集合】A，只是有限集合的无穷序列An。他所说的【弹性集合】A和B的相同，是指对任何k，有限集合Ak和Bk的相同。

他所说的【弹性集合】A是B的子集或真子集，是指对任何k，有限集合Ak是Bk的子集或真子集。

他所说的【弹性集合】A和B的元素数目的相同或多少，是指对任何k，有限集合Ak和Bk的元素数目相同或多少。

他所说的【弹性集合】A和B的一一对应，是指对任何k，有限集合Ak和Bk的一一对应。

这就非常清楚了，他说的不是无限集合。他所说的【弹性集合】A的【元素数目比其真子集多】，是指对任何k，有限集合Ak的元素数目比其真子集多。

李先生说【需要注意的是对于任意大的n，以上结果永远存在，即对于无限集合，也存在上述结果。】

错了。有限集合的无穷序列An，当n无论取多大的值k，这个Ak都是有限集合，在有限集合的无穷序列中没有无限集合。因而他的结果

【元素数目比其真子集多】，只对所有的k，对有限集合Ak有效。证明不了对无限集合成立。

李先生，現在该清楚了吧。你所论证的都是有限集合的性质。【对于任意大的n，以上结果永远存在，】是指对于所有的这无穷多个有限集合都成立。怎么就能毫无根据地说【对于无限集合，也存在上述结果】。这就是无限集合同有限集合的区别。

【必须端正态度，实事求是：对的可以坚持，错的就要承认，这样才会进步，】

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