Zmn-0949 沈卫国: 重申康托对角线法并未证明实数不可数的一个证明

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重申康托对角线法并未证明实数不可数的一个证明（增补稿）

                        沈卫国

内容摘要：从一个久被忽视的事实出发，就是按康托对角线法的逐位求异操作，是不可能完全排除产生的新数是一个有理数（循环小数）的可能性的。而只要有这种可能性存在，康托对角线法想要完成其证明无理数不可数的任何，就必然要失败。同时，一个有理数序列，同样按康托对角线法操作，也不可能排除对角线上产生的新数是一个有理数（循环小数）的可能性，而这并不意味着有理数就被康托对角线法证明或有机会证明为不可数的了。因为很简单，有理数早就被康托用其它方法证明是可数的了。于是同理，无理数虽然还没有被康托或什么人（除了笔者）用其它方法证明为可数的，但按上述思路可以看出，它也没有被康托对角线法证明为不可数（实际上笔者已经证明其为可数，这是另一回事）。

关键词：实数；无理数；非循环小数；有理数；循环小数；可数；不可数；康托对角线法；逐位求异；实数序列；无理数序列；有理数序列

      一、无理数下的对角线法

       康托对角线法，是先假设实数可数，就可以排成一列，然后通过逐位求异的方式，得到一个不在此表中的实数，进而声称证明了实数不能如此排成一列，于是就是不可数。对康托对角线法的问题，笔者几十年来，连篇累牍地从各个角度进行过分析。这里重申其中一个比较简单的否定康托对角线法有效性的方法：

          康托对角线法的沿对角线的逐位求异，得到的那个实数，究竟是无理数还是有理数？须知二者都属于实数的。但对角线上新产生的数，是一个无理数，对证明实数不可数而言，是必要的。但不是充分的。因为如果一旦对角线上产生的那个数是个有理数，也就是无限循环小数，则因为有理数早就被证明是可数的，因此任何一个集合少了一个可数集合的元素甚至全部可数子集，都不能证明原集合就是可数集还是不可数集。因为一个集合A，加上或减少任何一个可数子集（还不用说可数集中的某一个元素），都不能证明原先的集合A究竟是可数的还是不可数的。只有每次都减少一个非已知可数集或其中一个元素的情况，才有可能证明该集合A是不可数的。这是必要条件，但还并不是充分条件。也就是即使如此做了，很可能在证明中无意中引入了新的隐含假设，而使得反证法的证明失效。当然这是后话了。明确说，如果想证明实数是不可数的，只有证明无理数是不可数的才行。因为有理数已经证明是可数的了。如果康托对角线法所产生的数是有理数而不是无理数，甚至从实数集合总减去所有的有理数子集，也不能说明实数、具体说就是无理数的不可数性。实数，具体说就是无理数，不会因为少了可数的有理数子集而就不可数了。那么，康托的对角线法证明，可不可以排除这种情况的发生，也就是保证在对角线上逐位求异得到的那个数，一定是无理数而不可能是有理数？能有这个保证吗？没有。我们先以二进制为例。首先，对角线上产生的这个数，我们是可以事先构造出来的。第二，既然是可以被构造出来的，就不能排除在随机产生过程中一定不会产生它。第三，就算我们产生的数的前n位（n可以是任何数）还没有循环上，但谁也保证不了其后产生的数就一定也不会循环上。因此我们说，康托对角线法在对角线上通过逐位求异的方法，我们是无法保证它新产生的那个数究竟是无理数（非循环），还是有理数（循环）。你说很大的可能、概率是无理数（非循环小数），那个是无用的。第一，只要有可能产生的是有理数（循环小数），哪怕概率极小，就说明这种方法无效。因为一个有效的证明、论证，只有永远有效才行，一会有效，一会无效（哪怕机会很小），就说明其无效。因为显然，实数（无理数）不可能一会不可数，一会又可数了。哪怕可数的概率极小也罢。第二，说产生有理数的概率小，也就是其“总数在实数中的占比很小甚至极其小”，这个结论，正是康托对角线法所要证明的，或者是直接从康托对角线法中得到的结论。证明还没有展开，如何能用其待证结果当成证明的前提？逻辑循环无疑。为了回避这种情况，或保证不出现这种情况，唯一的办法就是事先安排二进制实数的一个排列，使得在对角线上的逐位求反（这里的“求异”就是求反）得到的那个实数不是有理数（不是循环数）。但这种刻意的安排下的所谓证明，就不是真正意义的证明了。这等于是人为事先构造一个实际上是有序的、事先安排好次序的、并不完备的实数子集合的排列，然后再说有实数不在此排列中。它的这个“操作”等价于事先在实数的排列中拿掉对角线上产生的那个实数。因此，这种所谓的证明，是无效的。其证明结论包含在了其前提中了。此外，既然是只有无理数才可能不可数，那我们在一开始排列时，就不说全部实数排成一列，而就是无理数排成一列。因为有理数本来就是可数的，算上它无意义，所以干脆事先就排除它。这样，问题就更明显，干扰更少。而如果事先排列的是一个无理数序列（不是全部实数序列，其中不包括任何有理数），而对角线上新产生的数，确定无疑地只能保证是一个实数，而实数包括有理数与无理数。因此对角线新产生的那个数，我们不能保证其必然是有理数，或必然是无理数。虽然可以保证其必然是一个实数（不是有理数就是无理数）。而新产生的那个数是不是无理数，对证明无理数不可数而言，是绝对必要的。可恰恰这个必要条件，不可能被保障。

我们说，在二进制下，这个问题比较明确。十进制呢？因为康托对角线法如果针对的是十进制数，其“求异”的选择可以是九种，而不是二进制的只有一种唯一的、必然的“选择”（原先是0改成1，是1改成0，没有其它选择）。而十进制不同，如果原先是1，则可以选2、3、4、5、6、7、8、9、0共九种选择。其中的任何一个都可以。比如，如果选了2是循环了，则可以不选2，而选3，等等。但是，第一，我们可以如二进制情况一样，事先选定对角线上构成一个新产生的有理数（循环小数），既然这个循环小数是可以事先构造出来的，在随机的情况下（不是可以不选意义下），就不能排除最终绝对不会在对角线上产生这个循环数，除非刻意地回避它。但这就使得对角线上的逐位求异操作，不再是个随机过程，而是一个有选择的过程了。和二进制情况一样（只不过二进制时选择更少，更明显），这就等价于事先安排了一个实数的排列，这种排列方式不会产生任何有理数（循环数），于是，整个证明就是事先“导演”好的、“安排”好的，一个事先有选择的、有安排的、导演好的证明，算什么证明？比如，你事先挑选好了1、2、3三个元素，然后你又数了一遍，就说证明了这就是三个元素的一个集合，这种所谓的证明，算是证明吗？更何况我们也完全可以事先安排，使得十进制的每位的任何数值下，都有相应的循环方式。以至无穷位。这复杂一些，但不是不能安排的。可以安排，是完全可以做到的。那么好，既然可以有这样的循环形式，哪怕是事先安排的，但它存在，就不能绝对排除其不会随机地出现在对角操作（随机的）中。既然不能排除，就说明康托对角线法的证明无效。因为没有什么一会有可能可数，一会又有可能不可数这回事。只要有这种可能，这个方法就无效。因为一个方法，如果真的有效，它就必须始终有效，在任何情况小都有效。同样，我们可以如二进制时一样，把十进制的实数（自然包括有理数）的排列以无理数代之，这样整个过程更其简明而不影响问题的说明。

二、有理数下的对角线法

      前面讲完了无理数的情况，现在讲讲有理数的情况。都知道有理数已经被康托证明是可数的了。如果我们仿照康托对实数（无理数）进行的对角线法步骤，假设我们现在排出的是一个有理数序列，康托对角线法还可不可用？当然可以。我们同样可以仿无理数（实数）情况，事先安排对角线上新产生的数是无理数或有理数（非循环或循环数）。如果对角线上新产生的是无理数，没有任何意义，不说明这个已经被排出的有理数序列是可数还是不可数的。因为新产生的是一个无理数而不是有理数。而如果对角线上新产生的数是有理数（循环数），则按康托对角线法的思路，岂不是要证明有理数也是不能被如此排出来的，这岂不就是有理数也不可数了（按康托的思路）？现实是，康托早就用其它的方法（著名的）证明了有理数是可数的。因此，这里由对角线法证明的有理数不可数的结论是错的。同理，从这个角度看，康托对无理数的类似证明（逻辑完全一样）也不成立。唯一的区别就是有理数已经被其它方法证明是可数的，而无理数一时还没有被其它方法证明可数而已（当然笔者前期有关文章中已经给出的方法除外）。但起码可以确定，无理数并没有被康托对角线法证明是不可数的。因为正如一个有理数序列不能排除对角线上新产生一个有理数一样，一个无理数的序列也不能排除对角线上新产生的数是一个有理数。这个可能是无法被排除的。对角线上新产生的数，能确定的只能是它是一个实数，但须知，实数可是包含有理数与无理数两种不同的数的，在随机的情况下，我们不能保证由对角线上的逐位求异（特别是二进制的逐位求反更明显）得到的数一定是一个非循环的无理数。表面上看，得到无理数的可能性似乎大些，但位数取到任何一位（无论多大），前面即使没有循环，也不能保证后面不会循环起来。谁能保证？只有事先安排好不去叫它循环（即得到的新数是无理数），而这种事先安排出来的东西，能叫证明吗？为了能得到一个确定无误的证明，却要事先安排好其证明过程的无误性，和其待证的结论，这不是循环论证又是什么？总之，既然我们通过事先安排可以得到对角线上的新数是一个循环的有理数，那么，作为可能性之一，我们就无法排除在一个随机过程中，我们肯定不会得到这个循环的有理数。康托对角线法被使用之前，首先应该证明其绝对不会出现这种情况。但这个证明恰恰是给不出来的。因此，康托对角线法从这个角度讲，也是没有证明实数（无理数）不可数的。

     三、进位制的不同与康托对角线法相关分析结论无影响

        还有一个问题需要澄清。前面已经论述，二进制下，因为每位状态非0即1，可选择性没有，因此问题更明显突出，而十进制下，可以有九种选择，问题不太明显（虽然正如前面我的论述，也同样成立）。那么，退一步讲，有没有我的结论对二进制下的实数有效，对十进制下的实数无效这么一回事？我们说，没有。对实数而言，用什么进制表式，没有本质区别。如果一旦出现二进制下的实数一个结论，十进制下的实数另一个结论，也只能说这个方法（对角线法）不行。因为一个方法如果对实数行，它就应该对任何进制的实数都行。如果行不行还与进制有关，则只能说明这个证明方法（具体就是对角线法）不行。

      四、位数的自然数，与一般意义的自然数的区别

       以上内容，笔者过去文章中提到过，这里再重申一下，也许还有些细节补充。对于笔者最早的否定康托对角线法的思路，是针对对角线法在实际上是多进制下多值的位数与罗列实数一一对应这个隐含假设的。但现实证明，这个思路我提出凡二十多年，未见多少人真的弄明白。逻辑上并不复杂，搞数学的不明白，搞逻辑的居然也不明白。因为假设是隐蔽的，还牵涉到可数、不可数的定义问题（如果定义不清楚，根本不可能明白。但事实上很多人其实对可数、不可数的定义并没有真正彻底搞清楚）。一些人总是说，位数不也是自然数，与自然数一一对应，不就是与位数一一对应。真的如此吗？那你为什么不把可数的定义改成“与位数一一对应就叫可数”啊？不要讲什么这与“与自然数一一对应就叫可数”是一回事。如果真是一回事，不是两回事，为什么可数的定义中只提自然数，而不提位数？不是一样吗？既然一样，不是说哪个都行啊？去把教科书中的可数定义，都改成“可以与位数一一对应”（况且这实际是康托对角线法的真实情况），再来跟我理论。但笔者本文提出的思路，更为直观、易懂。逻辑上比较明确。比涉及关于位数的隐含假设更直接了当。因此应该更有力。

           五、小结：实数，有理数，无理数，必要性，充分性，循环论证

     小结：对一个无理数序列，只要无法排除按对角线法逐位求异操作在对角线上可以产生有理数的可能性，对角线法证明实数不可数即失效。这是因为有理数集早就被证明是可数集，全部拿掉它也不能证明无理数集可数与否。康托把无理数换成了实数，说对角线上产生的是一个实数，但却默认是无理数，这无道理。欠一个额外的证明，而且给不出来。如果要保证对角线法在对角线上后产生的那个数是无理数（非循环小数），唯一的办法是事先安排给定，但如此一来，这就是事先刻意安排出的东西为结果了，属于逻辑循环，证明不成立。

      对有理数序列，仿康托对角线法，也无法排除对角线上产生的就一定不是有理数，如果始终有这种机会，按康托思路，岂不是有理数序列也有可能被康托对角线法证明为不可数的了？这当然是不可能的，因为有理数已经被康托用其它方法证明是可数的了。由此，可从另一个角度说明康托对角线法在证明实数不可数上是不成功的。即明确地说，它既然证明不了有理数是不可数的，按同样的道理，也证明不了无理数是不可数的。即证明不了实数不可数。

      总之，通常默认，在对角线上按对角线法随机地产生有理数是很困难的，几乎不可能。但康托对角线法失效，并不依赖于在对角线上具体产生或总是产生有理数这一点。只要有一次，甚或只要有这种可能或不能排除这种可能，康托对角线法证明实数不可数就失败。

       同理，通常总以为或被默认，康托对角线法在对角线上产生的数为无理数（康托以及以后的教科书中，无一例外地都用“实数”一词代替了无理数，而实际上实数包括了无理数和已经被证明为是可数的有理数，因此实际属于无意中的偷换概念），唯此，也才具备康托对角线法证明实数不可数的必要条件（对不起，还不是充分条件）。但这个结论根本就不成立。对角线上产生实数是必然的，但产生的是实数中的无理数还是有理数，并不是必然的。而显然，只有产生的肯定无误地是无理数，康托对角线法的证明结论才有成立的“可能”，但也仅仅是个可能。笔者前期很多文章中提到的关于位数的隐含假设问题，这就是针对对角线上产生的就是一个铁定的无理数这一点而来的，也就是即使如此，也没有证明实数不可数。那是针对充分性给出的证明，而此文（前期文章中也早提出了）是针对的必要性。

      康托在其对角线法的除了关于位数的隐含假设的失误，在此文揭露的另一个失误明确说就是，康托的对角线法的表述，都是关于整体实数的。而没有再提或在证明过程中意识到实数其实是分成有理数和无理数的。只有针对无理数的部分，才有可能是有效的。于是，其对角线操作产生的数，当然必然是实数，因此他以为他的反证法证明的逻辑脉络是：先假设实数可数，也就可以排成一个序列，通过其对角线法的逐位求异，得到了一个序列之外的实数，因此实数不可数。他以为是如此。但却没有想到一个是关于位数的隐含假设问题（本文不涉及这个问题，见前期笔者有关文章），一个就是本文揭示的实数实际上是包含两个部分的，一个是有理数，一个是无理数。不能说对角线上产生的必然是一个实数，就算证明了实数不可数。实际上，对角线上产生的必须是一个无理数（实数的一种可能），才有可能证明无理数是不可数的（实际上只是一种可能，是必要条件，而不是充分条件），因为很简单，有理数虽然也是实数，但却早被康托自己用其它方法证明是可数的了。它不应该掺和在对角线法证明实数（实际只能是无理数 ）不可数的证明之中。但事实是康托没有在其对角线法的证明中去进行这种区分。所以看似其反证法是笼统地针对“全部实数”的，因此徒具反证法的形式，而其实是反证法使用上的失败，它偷换了概念。总之，只要在对角线上按康托做法有新产生有理数（循环小数）的可能，对角线法证明实数（无理数）不可数就失败。因此，康托对角线法实际做到的，不是它声称的针对全部实数，又产生了一个新的不再序列中的实数，于是实数不可数云云。它实际上应该做的，是针对全部无理数，在对角线上又绝对地产生一个无理数，而没与任何可能产生有理数，如此，才有证明无理数不可数的可能，当然也仅仅是可能（不是充分条件）。但他如果真如此，能做得到吗？不行，绝对不行。因为对角线上随机地产生什么数，是无理数还是有理数，是无法控制的。产生有理数的可能始终就有，无法彻底排除。你就是检验到了多少万亿亿亿次方的位，都没有循环上，也不能证明其后不再会循环。当然反之亦然，前面都循环，多少位之后也不知是否就不循环了。因此，作为必要条件的对角线上新产生的数是无理数，是不可能被绝对满足的。于是，康托对角线法无效。

     有人也许给出理由，无理数比有理数多的多，因此绝大概率产生的就是一个无理数。但“无理数比有理数多的多”的这个结论，不正是欲由康托对角线法去证明的吗？你何能在证明之初就做如此断言而且这个证明直接依赖于这个断言？这不是循环论证？更何况即使其为大概率事件，但小概率事件也不能绝对排除，而只要不能排除，对角线法就无效。因为其有效，只有绝对有效，而不是什么大概率有效，小概率无效。如真的如此，只能说它还是无效。

      总之，康托通过证明实数不可数依赖于在对角线上新产生的数绝对要是无理数这一点。而否定康托对角线法的有效性并不需要在对角线上产生的新数绝对地是个有理数。而是，只要有产生有理数的可能，再小的概率，康托对角线法也失效。更何况其为小概率事件，还就是康托对角线法所需要证明的，而不能以其为整个对角线法证明的出发点。

       六、要点

   对角线上新产生的数，即使前n位（n可任意大）没有循环，也不能保证其后就一定不循环。正如前n位循环，也不能保证其后也循环一样。

    即使对角线上新产生的是无理数，由于位数的多值性这个隐含假设之故，康托对角线法也没有证明实数不可数（充分性），更何况对角线上新产生的数还不一定就是无理数，产生有理数的可能性不可能被排除（必要性）。除非事先精心安排。而一个事先（证明前）安排好的不完备的无理数排列，能算证明吗？

      凡不同意笔者观点的，请逐条反驳我上面提出的各条论点。别像那个薛问天先生，光喊口号，不敢也不能进行具体的逐条分析。

参考文献

【1】.知乎网“何许（笔者网名）”有关博客文

【2】.国家科技图书文献中心预印本,笔者（沈卫国）有关文章

【3】.沈卫国.论自然科学的若干基本问题.海风出版社.1998年第一版

【4】.沈卫国.论熵、不可逆过程及数学中的无穷.海风出版社.2009年第一版

【5】沈卫国 康托对角线法进而实数不可数问题的分析.知乎何许博客，国家科技图书文献中心预印本

注：其它已经正是发表的有关文章，以上都有，不再一一列出。

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