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Zmn-0947 李鸿仪: 集合概念的确定性误区，再评薛问天的Zmn 0946，0941，0937，0935，0931

已有 605 次阅读 2023-3-15 17:16 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0947 李鸿仪: 集合概念的确定性误区，再评薛问天的Zmn 0946，0941，0937，0935，0931等

【编者按。下面是李鸿仪先生的文章，是对薛问天先生的文章《Zmn-0941，0937》的评论，现在发布如下供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

集合概念的确定性误区

再评薛问天的zmn 0946，0941，0937，0935，0931等

李鸿仪

在集合的定义中，康托把元素定义为人们直觉或思维可以确定和加以区分的对象，这里的“可以确定和加以区分”其实也可简单地理解为“可以掌握”:如果人们的直觉和思维无法掌握某一个对象，怎么能去研究该对象？又怎么会去把它作为集合的元素？

但是人的思维和直觉可掌握的对象和这个对象本身的确定性是两个不同的概念。人的思维和直觉不但可以掌握确定不变的物体，也可以掌握变化着的事物。比如我们抛石子的时候，我们可以确定它的轨迹是抛物线，这并不等于石子本身的坐标是固定不变的。集合的元素也是这样，人们的思维和直觉可以确定即掌握的元素本身未必一定必须是确定不变的，例如我们完全可以把变量甚至函数作为集合的元素:

{x₁ ，x₂，x₃，……}，{ f₁，f₂，f₃……}，这样就可以大大拓展集合论的适用范围（尽管目前似乎还没有人这样做），而狭义地理解可确定性，则会大大地限制集合论的适用范围，比如，如果集合的元素只能是常数，则大概只相当于在变量数学产生之前的数学，在那个时代，甚至连解方程也是不可能的，因为方程中的未知数就可能是一个可取多个数值的变量。

当然，更不要谈以变量为主体的微积分了。

狭义地强调集合元素的确定性，还会造成一个非常严重的恶果。以自然数序列

123……

为例，每一个自然数都可以通过+1而不断增加，所以这个序列无穷无尽，永远也不会结束。

我在zmn0944中已经说过，任何定义，不过是用来界定某一个事物的，当然必须首先客观地描述这个事物。自然数序列可以通过加1而无限地增加，这是一个不以人们意志为转移的客观规律。任何有关于自然数的定义都必须以这个客观规律为基础，自然数集合的定义当然不能例外。

但在传统集合论中，狭义地认为集合的元素都是必须确定的，集合的外延当然也是不能变的，这样就不能描述自然数的元素可以不断增长这一客观规律，产生各种悖论是必然的。

命题 1任何无限集合的一半元素组成的集合仍然是无限集合。

证明：假定无限集合A的一半元素组成的集合B是有限集合，设B的元素数目为m，则A的元素数目为2m，仍然为有限集合，矛盾！所以，任何无限集合的一半元素组成的集合仍然是无限集合。证毕

这样，我们如果取自然数集合N={1，2，3......}中从1开始的一半元素组成N*={1，2，3......}，则根据上述命题，N*仍然是一个无限集合，且其元素仍然是自然数，但其外延只有N的一半，因此，N*是不同于N的另一个无限的自然数集合。这就证明了，自然集合的外延可变，不是唯一的。无穷公理并不成立。该公理认为，存在着一个已经包含了所有自然数的集合，既然已经包含了所有自然数的集合，这个集合当然是唯一的。

无穷公理的反例即自然集合不唯一的另一个具体例子：

假定由两个或多个学生数无限多的班级组成了一个学校，每个学生在班级都有学号（班学号）。如果把班级打乱，再定义一个校学号，即每一个校学号与全校中每一个学生一一对应，这样班学号和校学号就都可表示成自然数集合{1，2，3……}。但由于学校的学生数比班级的人数多，因此这两个自然数集合不同！

因此，一看到都可以表示成{123……}.就以为是同一个自然数集合，其实是不符合事实的。

同理，我们也可以证明都可以表示为{2，4，6......}的偶数集也不是唯一的，这样，困惑了人类数百年之久、希尔伯特与康托都无法搞清楚的所谓伽利略悖论也就不存在了:与自然数一一对应的偶数集合与自然数集合里面的偶数组成的偶数集合并不是同一个集合。薛问天在zmn0941里对相容集合论的主要质疑当然也不成立了。

从上述叙述可以看到，无论是自然数集合还是偶数、奇数集合，不同的集合都可能有相同的表示形式，一看到相同的表示形式，就认为其外延一样，是同一个集合，这个想当然的思维是太简单化了。

简单化的想当然是人类严格逻辑思维的大敌，思维不严谨是所有悖论的原因。对于思维缜密的人来说，任何悖论都是可以消解的，甚至根本就不存在任何悖论。

造成上述混淆的根本原因在于相同的省略号表示的内容未必完全一样，不注意这一点，才会造成混淆。所以，只有把省略号里面的内容也尽量具体地表示出来，才不至于混淆。为此，笔者引入了无上界正整数变量n，称为无限变量，并把无限的自然数集合表示为

{1，2，3，……，n} (1)

显然，在这种表示法里面，由于无限变量n无上界, (1)表示的集合仍然不可能有最大自然数，所以仍然是无限的自然数集合，但是它的外延的表达十分清楚。例如，不同的无限变量就可以表示不同外延的自然数集合，而在传统表达法中，由于不同外延的自然数集合都表示成{1，2，3......}，看上去一摸一样，根本无法区别，怎么可能不产生各种错误和悖论呢？而且，由于自然数集合的外延是可以随无限变量n的变化而变的，这样，就不但能够描述自然数集合的元素可以通过加1而不断增长的这一客观规律，还可以比较清楚地比较各种外延变化并不同步时各种不同的无限自然数集合。例如，如果把N*表示成{1，2，3，……，n}，则N={1，2，3，……，n-1，n，……，2n-1，2n}，显然其中n+1~2n只属于N而不属于N*，所以，虽然N和N*都可以表示为{1，2，3，……}，但并不是同一个集合。

这里要注意到，由于n是一个变量，所以属于N但不属于N1的元素n+1~2n也是动态变化的，也就是说，我们未必能找出某些特定的、只属于某一个集合而不属于另一个集合的元素，但这并不等于两个集合是相同的。显然这种动态的思维属于变量思维，而不是简单化的常量思维。

从这里也可以看出，把客观上是动态的无限集合主观地看成是静态的无限集合，必然会造成各种错误和悖论。例如，把N和N*看作是同一个集合。

采用这种表示法，还很容易看出N1={{0}UN与N是不可能一一对应的:

设N={1，2，3，……，n}，则N1={0，1，2，3，……，n}，无论无限变量n如何取值，两者永远不能一一对应，所谓无限旅馆悖论和因无限集合可以与其真子集一一对应的这些导致的部分等于整体悖论也被消除了。

康托其实是认为N={1，2，3，……，n}与N1={0，1，2，3，……，m} 中的n和m是两个独立的变量，所以可以令m=n-1，这样就建立了所谓的一一对应。然而，事实上，由于独立的集合N也是N1的一个子集，所以n和m都只能是同一个N集合里面的同一个元素，即m=n，怎么可能取两个不同的值？
事实上，用反证法可以证明m=n:如果m≠n，则独立的N集与N1里的子集N不是同一集合，与定义N1={0}UN矛盾。倒如，当n=3时，如果m=2，则独立的N集N={123}，而N1里的子集N={12}，矛盾，这就是他具体的错误所在。

根据一一对应的定义，无论是有限集合还是无限集合，既然A，B的每个元素都互相一一对应了，A，B的元素数目当然是严格相同的，这本来也是一个简单到不能再简单的事实，但康托却在元素数目不等的两个集合N和N1={0}UN之间，建立了所谓的一一对应，造成了极大的思想混乱，用（1）式表示自然数集合后，却一眼就能看出其中的错误。

一旦一一对应理所当然地只能在元素数目严格相等的集合之间进行，那么我在zmn0944中所说的 “基数就是元素数目”当然就无可辩驳了，也再没有任何乱七八糟的错误和悖论可以立足了，这正是相容集合论的目标所在。

在我之前，其实没有一个人能搞清楚这一点，即没有一个人能指出康托具体错在哪里，所以数学界被他迷惑了100多年，连希尔伯特也未能幸免，甚至还要用无限旅馆悖论为他背书。
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别人搞不清楚也就算了，因为未必有人跟他们分析过，但薛问天一直搞不清楚就很奇怪了:我已经从多种角度帮他分析过。

例如，设N={1，2，3，……}，N1={0，1，2，3，……}，两个省略号里面的元素完全相同，当然可以互相一一对应，这些元素一一对应以后，剩下的元素数目不一样，无论怎么排都不可能一对应，例如，若排成N1={123……0}，最后一个0就没有对应项。

再例如，在https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1375076.html中我写到：假定旅馆有n房间，旅客有n+1个，当然是住不下的。显然n→∞时，....，lim(n+1-n)=1>0，即无穷多个旅客仍然比无穷多个房间多（多1），仍然客满，毫无矛盾！

在https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1352738.html一文中，则给出了能否一一对应的验算方法。

但他显然只相信书本知识，怎么也听不进我的话，而且反过来还说我怎么到现在还不肯接受无限集合可以与与其真子集一一对应呢？难道我应该像他一样无脑地随便接受一个我已看出明显是错的东西吗？难道谎言的重复就应该变成真理吗？难道一旦人被错误的东西先入为主地绑架，就再也搞不清楚什么是对和错了吗？

另外，正因为有无限集合可以与其真子集一一对应这一在有限集合绝对不成立的命题，才使人们误以为无限集合和有限集合是截然不同的 (见0946标题) 。

事实上，无限集合是从有限集合发展出来的，只是当有限集合不能容纳足够多的元素时，才提出了无限集合这个概念。因而没有任何理由任何可以把有无限集合和有限集合截然分开:在有限集合中截然不能成立的命题，如果没有十分充足的理由和绝对经得起反复推敲的证明，在无限集合也是不成立的。

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还有，为了固定无限集合的外延，康托不得不引入了与事实并不相符合的是实无限假设。比如错误地认为自然数集合的外延可以不变。与实无限直接冲突的是π的计算，虽然π在数轴上有确定的点，但是对这个点的计算却是永远也完不成的。这并不是个别现象，占实数轴绝大多数的所有的无理数都是这种情况。而且，虽然要证明无理数的存在并不困难，但除了根号2，e，π等外，一般无理数的定义都成问题。例如，我最近的博文

https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3425940&do=blog&id=1379657

指出，包括戴德金第三类有理分割和闭区间套定理在内的任何试图用有理数区间来定义唯一的无理数的企图都注定是要失败的，因此，认为实数轴是一个已经完成了的无限最多不过是一个假定。

一旦无限集合的外延可以变化，那就没有必要再规定无限是必须完成的了，也就是说实无限假设不再是集合论所必须的了。

事实上，至少到目前为止，还没有人能够证明实无限，且明显存在反例(例如π的计算不能完成)。

总之，只要不是狭义地理解集合的确定性，集合的外延就是可变的(称之为弹性集合)，这样所有的悖论都可被消除。

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