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Zmn-0937 薛问天: 无限旅馆不是悖论。评李鸿仪【数学分析对于无限旅馆悖论的解决】一文

已有 1126 次阅读 2023-2-10 09:23 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0937 薛问天: 无限旅馆不是悖论。评李鸿仪【数学分析对于无限旅馆悖论的解决】一文

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生的【数学分析对于无限旅馆悖论的解决】一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

无限旅馆不是悖论。

评李鸿仪;【数学分析对于无限旅馆悖论的解决】一文，

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg 李鸿仪先生说的不对。无限旅馆并不是悖论，不存在矛盾，根本不需要解决。他提出的多此一举的解决方案也是错误的，需要在舆论界，批判和澄清。

无限旅馆只是一种人们的逻辑推论，并不是实际的客观存在，在客观现实中只有有限旅馆，旅客也是有限，不存在无限旅客。由于人们常接触的是有穷集，很多人对无穷集合的特性并不了解。例如一一对应，人人都知道有限集同它的真子集是不可能一一对应的。但是无限集却有一个重要特性，就是无限集有可能同它的某些真子集一一对应。在无限旅馆的推论中引用了一一对应，所以就推出了一些在有限旅馆中为真但在无限旅馆中为假的命题。由于无限旅馆并不是客观存在，人们并无这方面的经验，就有些人错误地以为在有限旅馆为真的命题在无限旅馆也应为真。当推出这些命题为假时，这些人就错误地认为无限旅馆有矛盾，是悖论。其实这是无限旅馆的正确推理，这些命题在无限旅馆就应为假，很正常，不存在矛盾，不是悖论。下面我们来用严格的数学语言具体描述。

设K表示旅客的集合，F表示旅店房间的集合。我们用一一对应(存在双射)表示刚好每个旅客都有房住，而且只住一间房，同时一间房只住一个旅客，即不同旅客住不同房间。

定义1，如果K同F的某子集(注全集也是一种子集)一一对应，则称K在F【可住下】。否则，如果K不能同F的任何子集一一对应，则称K在F【住不下】。

定义2，如果K同F一一对应，则称KF【客满】，如果K同F的某真子集一一对应，则称KF【客未满】。

考虑如下两个命题是否为真。

命题1，如果KF【客满】，令在K集合上增加1个旅客是集合K1，即K1=KU{a}。则K1在F【住不下】。

命题2，如果KF【客满】，则不可能KF【客未满】。

显然，对有穷的旅客和有穷旅店。命题1和命题2绝对为真。这就是李先生所说的连幼儿园的小朋友都知逼的事实。

但是对无穷旅客和无穷旅店，命题1和命题2却并不真，而是假命题。对于无穷个旅客住在无穷旅店，当K同F可以一一对应，即KF【客满】时，K仍然可同F的某真子集一一对应，从而KF【客未满】。于是当K增加一个旅客变为K1时。K1在F仍然【可住下】。

这不是矛盾，不是悖论，而是人们应该认识到的无穷集的特性。有穷集不可能同它的真子系一一对应，但是无穷集有这个特性。幼儿园的小朋友认识不到，因为他们年龄太小，还不懂无穷，还不懂推理，不懂一一对应。我想李先生绝不会同他们一个水平，连这些都学不懂。

无穷旅馆不是现实客观存在的有穷旅馆，是人们根据无穷集的性质所作出的一些推论。由于无穷集合的特性不同于有穷集。所以无穷旅馆存在一些不同于有限旅馆的性质，是完全正确的，命题1和命题2为假，在无穷旅馆没有矛盾，不是悖论。而李先生说要解决悖论，完全是无中生有和多此一举。

而更为严重的是他所提出的解决方法是严重错误的。他的错误主要是他认为【用数学分析是完全可以简单，精确，严格地比较无限集合元素数目的多少的。】错误来源于他对数学概念的混淆和错误理解。

在数学分析中的极限，研究的是实数序列的极限，用实数序列的的极限定义不了无穷集合的个数。在数学中没有【无穷集合的个数】这个概念，在相当于【集合的个数】这个概念的正式数学定义是【集合的基数(势)】，是用一一对应定义的基数理论研究的内容。

我们来分析，李先生是这么讲的【现在假定。旅馆有n房间，旅客有n+1个，当然是住不下的。显然n→∞时，lim n=∞，lim(n+1)=∞，根据定义：lim(n+1-n)=1>0，即无穷多个旅客仍然比无穷多个房间多（多1），仍然客满(住不下)，毫无矛盾！】

李先生这段话的关键错误是，把"无限集合"同"有限集合的无穷序列"，混为一谈了。要知道，他论证的结论是【无穷多个旅客仍然比无穷多个房间多（多1）】，说的旅客和房间这两个无穷集合的个数，但是他使用的却是有限集合个数的无穷序列(n+1和n)相差的极限，按照他的补充定义的说法，这个差的极限也只是【无穷数列的大小】，并不是无限旅客集合和无限房间集合个数的多少。要注意"无限集合"同"有限集合的无穷序列"，这是两个不同的概念。这两个不同概念之间也并不是唯一对应的，不能看作是一个概念。

例如"无限集合":A={1,2,3,...,n,...}，只有一个。但相应的"有限集合的无穷序列"则有很多，

如A1,A2,A3,......，其中A1={1}，A2={1,2}，A3={1,2,3}，......，

B1,B2,B3,......，其中B1={1,2}，B2={1,2,3}，B3={1,2,3,4}，......，

C1,C2,C3,......，其中C1={1,2}，C2={1,2,3,4}，C3={1,...,6}，......，

等等都是相应的有限集合的无穷序列。

这个无穷集合A显然不同于无穷序列An.Bn.Cn(n=1,2,3,......)。但我们知道它们有如下无穷并集的关系:

A=A1∪A2∪A3∪....

A=B1∪B2∪B3∪....

A=C1∪C2∪C3∪....。

即同一个无限集合等于多个相应的不同的无穷序列的并集。

显然An的个数是n，Bn的个数是n+1，Cn的个数是2n。

李先生的错误在于，把有限集合个数序列的极限错误地认为就是无限集的个数(基数)。而且用【序列的大小】即序列差的极限来作为无限集个数多少的根据。显然这一切都是作不到的，是错误的。因为不同的序列求出来的结果可能不同，但无限集合个数只能有相同的一个。

另外把"无穷旅客这个无穷集合增加一个旅客"看作是"个数是n+1个旅客的有限集合的无穷序列"，则更是毫无道理的荒谔谬论断。

所以说李先推出【无穷多个旅客仍然比无穷多个房间多了1，仍然住不下，】是错误的。、

正确的推论是无限旅馆不同于有限旅馆，在无限旅馆下，命题1和命题2为假，在此情况下不是【住不下】，而是【可住下】。这里不存在矛盾，不是悖论。因为这不是有限旅馆而是无限旅馆。

李鸿仪先生的错误并不仅仅只是在这个无限旅馆上。实际上李先生是在否定一一对应这一方法，否定整个基数理论。李先生说【问题在于康托虽然是数学家，但是同时也研究数学哲学，而且没有把两者严格地区分开来，........无限旅馆问题仅仅是其高度不可靠的一个典型例子。】

我们再来看李先生文中的另一更为严重和深刻的错误观点。那就是直到现在李先生都没有认识到的，从而也不承认的关于无穷集合的重要特性。我们知道对于有穷集合，有一个大家都熟悉的规律，那就是有穷集合的个数大于它的所有真子集的个数。即如果集合A对集合B和C，有A=BUC，而且B≠∅，则A的个数大于C的个数。这个规律对于有限集合是绝对成立的。那么对于无限集合，此规律是否成立呢？数学界的研究表明对于无限集这个规律不一定成立。任何一个无限集都存在同它的【个数】相等的真子集。这已成为无限集所具有的一个特性。当然要说明的是在数学上并无【无限集个数】这一概念，所用的是【无限集基数(势)】这个严格定义的数学概念。也就是说，对于无限集来说，当A=BUC，B≠∅时，A的基数|A|不一定大于|C|。

因而，对于这些无限集合:

有理数的集合=负整数集合U正负分数集合U自然数集合，

并不要求一定有

有理数的数目＞自然数的数目。

从而有理数集合的基数=自然数集合的基数，这对于无穷集合来说是完全正常的。
李先生以【包括小学生在内的任何一个有正常思维能力的人都不会认为自然数的数目和有理数是一样多的，】作为理由说得不对，当小学生长大以后，以及有正常思维能力的人，当他们认识到无穷集合的特性以后，就会知道自然数的基数和有理数的基数是一样多的。对于无穷集要有个认识和学习的过程。

李先生应该相信科学和知识的力量会使人类获取进步，得到文明。过去人类受到知觉的束缚，认为是以地球为中心的。但是科学和知识使人类开创了眼界，放棄了【地心论】。同样，过去人们受有限集合的直觉限制，也有很多错误认识，而科学和知识揭示了无限集合的规律，指出无限集合有不同的特性。我们的眼光也应随之开放，不应过于守旧和保守，对无穷集合应有新的开放的认识。康托尔的伟大之处就在于百年之前就已有此认识。可悲的是直到现在，还有些人对此毫无认识，还在坚持有穷集合的规律，不承认无穷集合有此特性。

附李鸿仪:【数学分析对于无限旅馆悖论的解决】一文。
https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3425940&do=blog&quickforward=1&id=1375076

数学分析对于无限旅馆悖论的解决

数学家希尔伯特在解释康托的无限集合可以与其真子集一一对应这一证明时，形象地用无限旅馆这一悖论来比喻该证明。这个悖论早已家喻户晓，本文就不再详述。

无限旅馆的结果是一个已经客满的无限旅馆，再加一个旅客后，仍然可以往得下。

如果已经客满就不应该再往得下，既然往得下，就应该还没有客满，即客满又没有客满，显然是自相矛盾的。

包括数学在内的任何科学都不允许任何自相矛盾，但在集合论内部，这个矛盾至今没有解决，甚至有人不得不把自相矛盾合法化，认为是无限的特点，说明集合论在无限问题上的基础并不牢靠。

为此，可以设法在集合论外部来解决这个问题。

数学分析是高度可靠的，数学分析对无限过程的描述是任意大的有限值，即无上界的有限值。例如n→∞时，n是有限值，但其增加无上界即没有最大的自然数。

由于数学分析高度可靠，所以数学分析在无限问题的上述处理也必然是高度可靠的。例如，可以这样定义高阶无穷大

高阶无穷大:n→∞时，若数列lim an=∞，lim bn=∞，且lim [an/bn]=∞，则称an是bn的高阶无穷大。
为了更精确地比较无穷数列的大小，补充定义如下，
n→∞时，若lim(an-bn)=0，则称lim an=lim bn, 若lim(an-bn)>(或<)0，则称lim an>(或<)lim bn;

现在假定。旅馆有n房间，旅客有n+1个，当然是住不下的。显然n→∞时，lim n=∞，lim(n+1)=∞，根据定义：lim(n+1-n)=1>0，即无穷多个旅客仍然比无穷多个房间多（多1），仍然客满，毫无矛盾！

由此可见，在集合论中把人们搞得神魂颠倒的无限问题，用数学分析一分析，那么简单，简直就是幼儿园题目！

从这个例子可以看到，如果把旅客数或房间数看做是无限集合的元素数目，那么用数学分析是完全可以简单，精确，严格地比较无限集合元素数目的多少的。康托显然并没有找到这个原本非常简单的方法，所以才找到了一一对应这一方法来比较无限集合元素的多少。严格的一一对应原本也可以精确地比较无限集合元素数目的多少，问题在于康托虽然是数学家，但是同时也研究数学哲学，而且没有把两者严格地区分开来，经常把把哲学中的一些虽然富有创造性，但过于随意而不严格的思维方法用到数学上，造成了其思维的随意性和不严格性，从而把一一对应的概念搞错了(以后另文叙述)，且一差十万八千里，从而导致了康托式一一对应的高度不可靠。无限旅馆问题仅仅是其高度不可靠的一个典型例子。另一个典型例子是有理数和自然数的数目比较。有理数远远多于自然数，这不但是直觉，而且也是可以严格证明的:任何一个自然数都是有理数，但并不是任何一个有理数都是自然数,

有理数的数目=自然数的数目+负整数的数目+正负分数的数目>自然数的数目

因此包括小学生在内的任何一个有正常思维能力的人都不会认为自然数的数目和有理数是一样多的，但康托却在两者之间建立了康托式一一对应，该事实充分证明:康托式的一一对应完全不能用来比较无限集合元素的多少，既然如此，这种一一对应及其以此为基础的基数概念还有任何其他数学意义吗？能用于解决任何实际的数学问题吗？

更有甚者，还有人把高度不可靠的一一对应当作可靠的逻辑证明，当其推导结果和事实发生冲突的时候，就说什么逻辑是可靠的，事实是不可靠的云云。比如说，既然有理数与自然数之间可以一一对应，就说明有理数和自然数是一样多的，所以认为有理数比自然数多，是不可靠，甚至是错的，这可真是是非不分、颠倒黑白啊！

如此简单的事实，数学界到现在还没有认识到，反而还要津津乐道康托的伟大？

现在的数学界，学生们读书的时候，教材和老师们就不顾事实地说康托怎么怎么伟大，弄得没有一个人敢对康托的理论有任何的质疑。在这种不正常的学术氛围下，学生们连最简单的事实都不敢承认，实际上已经彻底被反智化了！如此的教育，是在培养人才还是在摧残人才？有关部门是不是应该出面加以干涉？

在笔者重建的集合论中^[1,2]，不再采用高度不可靠的康托式一一对应及其基数理论。

[1]https://vixra.org/abs/2210.0144

[2]https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1326712.html

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