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Zmn-0930 一阳生: 正确的认识【关系】概念兼评论薛老师的《Zmn-0926》

已有 796 次阅读 2023-1-18 11:53 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0930 一阳生: 正确的认识【关系】概念兼评论薛老师的《Zmn-0926》

【编者按。下面是一阳生先生的文章，是对薛问天先生《Zmn-0926》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

正确的认识【关系】概念

兼评论薛老师的《Zmn-0926》

一阳生

第一，对于关系的正确认识。

集合论中确实没有【关系】这个原始概念，但是有属于关系、子集关系等具体关系概念，我们可从这些具体关系的共同属性中得出关系概念的含义，并把这些具体关系的外延之和作为关系的外延。

这种进一步的抽象是合理的，符合认知的规律，且不与任何的理论包括集合论冲突。毕竟数学中甚至集合论中有诸多“非集合”的概念，如【自然数】概念本身，【集合】概念本身。对于它们谈外延而不谈元素。它们本身虽然是不加定义的原始概念，但通过它们的外延存在及适用公理可知它们的一些确定含义，它们是某种存在。(它们的外延都是存在，不是指它们本身。)

当然集合论中并没有像自然数概念、集合概念一样首先把关系概念给出，也许是没有必要。因为已给出了属于关系、子集关系等具体关系概念。但不妨碍我们从这些具体关系和集合论公理抽象出关系的含义：关系是另一种类型的存在，是不同于集合和自然数的存在！对关系可问是否成立。(关系的外延都是存在，可问是否成立。关系概念本身及具体关系概念本身不是存在，所以本身不可问是否成立。)

我们虽然没有直接知道和首先知道关系概念本身是什么，关系概念本身也是不具体的，如果用来直接定义笛卡尔乘积的子集也是过于抽象的。用关系概念本身定义出来的子集也许就是笛卡尔乘积本身。但用来定义或抽象关系概念本身的属于关系、子集关系等各种具体关系都是我们所知道的和明确的，书本上有现成定义的。可用这些具体的关系来定义笛卡尔乘积的子集。

从外延上看，子集上的R(x,y)是限制在(不是定义在)x ∈X和y ∈Y上的即笛卡尔乘积X × Y上的某种具体关系或抽象关系。集合之间的某种具体关系及其否定关系是定义在所有集合之间的，这才是书本上的关于各种具体关系的定义。某具体关系或抽象关系绝不可能定义在某集合的元素之间或某笛卡尔乘积的元素之上，毕竟不存在以所有集合为元素的万有集合。而关系的含义又是各种具体关系含义的共性，关系的外延是各具体关系的外延之和。

在各具体关系概念给出之后，上可进一步抽象出关系概念本身(也许是没有必要的)，下可定义笛卡尔乘积的子集。如分离公理模式∀y∃x∀z(z∈x⇔(z∈y∧A(z))) 中的A(z)就是定义在所有集合之上的(性质或关系)。

数学中是首先给出具体的关系概念，然后据此判断外延具有此具体关系。而不是相反。

希望薛老师通过对下面三个问题的反思，能回归正确的认识。

两个笛卡尔乘积如A × B和X × Y，它们各自的子集，分别定义的关系，以谁为准呢！两个关系之间是什么关系呢？

显然在您强行定义条件下，您定义的关系只是A× B上的关系R1和X × Y上的关系R2。那么定义在所有集合之上的关系又该如何被乘积上的关系所定义呢？显然据分离公理模式当笛卡尔乘积之外的元素如<a,b>使A(a,b)成立时，有<a,b> ∉ R。您心目中的定义【R(x,y)成立当且仅当<x,y>∈R。】无法发挥定义所有集合之上的关系的作用！(<a,b>也可替换成<X,Y>。)

在您的强行定义条件下，抽象的【关系】概念本身不应该是笛卡尔乘积本身吗？

第二，对《Zmn-0926》的评论

您说：“我们说的是用集合R来定义关系，是在说如果有一确定的集合R就可以定义一个确定的关系。是在R是确定的集合这个假定下来讨论问题的。…至于说道在集合论中，集合是如何定义和给定的，当然可以说清楚，那就是用集合论的公理。…”

我须要提醒您，您关于关系的定义是：关系是笛卡尔乘积X ×Y的子集。至于集合论中的几条存在性公理，从狭义的角度看都不是根据其元素的性质来定义的，而是通过直接确定其元素的范围。

但这些定义出来的集合都只可作为定义笛卡尔乘积X × Y的集合X和集合Y，而不是直接作为笛卡尔乘积的子集。中间还缺少了必不可少的用分离公理模式来定义笛卡尔乘积子集的过程。如何定义子集才应作为我们论证的内容。至于子集定义关系，依据您的强行定义即关系是笛卡尔乘积的子集，您为什么把某子集而不是别的子集定义为某关系，也是我们论证的重点。

您说：“∀y∃x∀u(z∈x⇔(z∈y∧A(u))) 中的A(u)是ZF形式语言中的任一公式。它并不是一阳生先生所理解的【关系】。在集合论中并没有【关系】这个原始概念。”

您说的是对的，首先A(u)是形式符号语言，在字面上文字上就不是关系或性质。其次在含义上A(u)也不必一定是狭义理解的关系或性质。A(u)可以是直接给出元素范围。给定一个集合，该集合的子集可通过直接给出元素范围的方式定义。

一个集合通常可定义出多个子集，不像集合论的几条存在性公理定义出唯一的集合。对于通过直接给出元素范围的方式定义的不同子集，它们的不同之处在于元素本身的不同和基数的不同。但仅知道这些不同之处通常并不是我们的需要！我们的需要中必不可少的就是研究集合上的某种性质或关系。

那么问题来了。我们如何在众多子集中识别到需要的子集呢？即某个通过给出元素范围的方式定义出来的子集，凭什么被认为或被定义为是具有某种性质或关系的子集呢？除非我们已经事先有了某种性质或某种关系的概念，比如您在《Zmn-0922》中定义集合A={a,b,c,d}上小于关系的情形！

如果薛老师回答不出或不能正确的回答，只能说明形式语言公式A(u)取值给出元素范围的方式定义子集，可以但无用！要研究集合元素上的某性质或关系，只能通过性质或关系定义子集的方式来研究。当然如此定义下，性质或关系是子集的修饰限定词。

您说：“这段话说明一阳生先生不了解逻辑的相对性。他只知道由性质可以定义集合，而不知道由集合可以定义性质。…当且仅当是具有双向性的。…我发现一阳生先生对逻辑的相对性缺乏足够的认识。”

对【当且仅当】用法的错误理解，已让您违背了逻辑的原则性，在性质、关系与集合之间相互定义，循环定义。

在笛卡尔乘积的子集定义出来后，【当且仅当】用在其他关系上是定义，用在属于关系上是定理。这是机会主义思维。

这种违背原则性，被您美名曰相对性和灵活性的情形，在早先其他问题的讨论中也有存在。

您说：“应该对关系概念的提出己是进一步的数学抽象这点有明确的认识。当我们说x是y的子集，这只谈到x是y的【子集】这个子集概念。但谈到集合x和集合y具有【子集关系】，这已是进一步的一个【关系】概念了。我们应休会和理解其中的不同和进步。在自然数中我们很容易知道小于这个概念，2小于3，3小于4。但是当把小于看成形成了自然数中的小于关系这个概念，这己经是进一步的一个概念了。…”

两种关系的表达(即x是y的子集与x和y具有子集关系)完全是同一的，无任何区别！不能因为在字面上一种表达没有“关系”二字，一种有，就认为是表达上有所不同、更进一步！如空集Ø是自然数集合N的子集当且仅当空集Ø和自然数集合N具有子集关系，2小于3当且仅当2和3具有小于关系，{1} 属于{{1}}当且仅当{1} 和{{1}}具有属于关系，等等。它们无任何区别，因为它们的外延是相同的。(不考虑N是Ø的子集等情况。)

关系表达上不同、更进一步的，是如Ø是N的子集与x是y的子集的不同，或者Ø和N具有子集关系与x和y具有子集关系的不同。如2小于3与x小于y的不同，或者2和3具有小于关系与x和y具有小于关系的不同。如{1} 属于{{1}}与x属于y的不同，或者{1} 和{{1}}具有属于关系与x和y具有属于关系的不同。等等。

两种关系表达之间的不同、更进一步，在于外延不同，外延越多关系表达的含义越抽象。不在于关系表达中【子集】和【子集关系】、【小于】和【小于关系】、【属于】和【属于关系】等两个概念之间，在概念上谁比谁更进一步。

书本中有现成的各种定义在所有集合之上的具体关系概念，对它们作一些新的研究、更深入的研究完全没有问题。

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