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Zmn-0889 李鸿仪: 基数和元素数目的关系，兼评薛先生错误百出、颠倒黑白的Zmn0883和0887
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Zmn-0889 李鸿仪: 基数和元素数目的关系，兼评薛先生错误百出、颠倒黑白的Zmn0883和0887
【编者按。下面是李鸿仪先生的文章，是对薛问天先生的《Zmn-0883,0887》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】
基数和元素数目的关系，
兼评薛先生错误百出、颠倒黑白的Zmn0883和0887
薛先生的基本观点是认为数学上只有基数的概念，没有元素数目的概念，即基数和元素数目是两个不同的概念.
这是完全错误的。
这是因为，既然有集合，就必然有集合的元素，既然有集合的元素，怎么可能没有集合元素的数目呢，有限无限都必然存在元素数目这一概念，只不过无限的时候数不清楚而已，
数不清楚不等于不存在，比如说我们甚至不知道暗物质是什么，能因此说它不存在吗？只有一天到晚混淆概念的人才会把知道与否与存在与否这两回事当成一回事，以为不知道就是不存在！比如说我不知道明天的股市是涨还是跌，我就可认为明天的股市不可能有涨跌？
而且元素数目这个概念其实我们一直在用。比如说当我们说无限集合的元素数目是无限的时候，这时候已经用到了无限集合的元素数目这一概念了，否则这这句话主语都不存在了，这句话又如何成立！
而且，尽管我们并不知道无限集合元素数目的绝对值是多少，但是我们却可以比较它们的相对值。比如我们可以说外延相同的两个无限集合的元素数目是相同的，实际上已经在比较两个无限集合的元素数目了，这其实也证明了无限集合的元素数目是存在的:如果不存在，比较的是什么？
再比如，根据真子集的定义可知，任何无限集减去其任意的一个真子集，得到的差集非空，其元素数目大于0，所以任何集合的元素数目是必然比其真子集多的，否则差集元素数目就等于0即差集为空集，与真子集的定义矛盾。这也是一个非常简单清楚的事实。
总之，无限集合元素数目这一概念是存在的，既然存在，我们就可以对它下定义，就可以进行研究。这正是数学的任务。
科学不过是用来解释事实的，对事实视而不见，或者说没有定义而拒绝讨论，这是一种反科学的态度，所搞的也必然是伪科学。
其实，无限集合元素数目的定义早就有之，就是所谓的基数！康托是这样定义基数的（】【1】p63）：
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每一个集合都有一确定的“势”，也称为该集合的“基数”。
我们用M的“势”或“基数”来命名这样一个一般概念，它由我们的下述思维活动所产生，即设想从集合M中抽象掉其中所有元素m的具体性质及其给定的序关系后还余下的东西。
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不管薛先生或其他后人是不是承认或理解，康托关于基数的原始定义就是这样的。
不难想象，任何一个集合，一旦抽去了元素的性质和序关系，所有的元素就都只能用一个相同的符号来表示，这时候，所有集合的区别就在于且仅仅在于其元素数目的不同，因此所谓的”余下的东西”即基数就是元素数目！
而且康托用一一对应来比较两个集合的基数是否相等，他这样定义一一对应”如果按照某种法则，它们彼此之间能够建立一种关系，使得一个集合中，每个元素有且仅有一个另一个集合中的元素与此对应。（【1】p64）”，根据该定义，只有当两个集合的元素数目精确相等时，才能够建立一一对应，这时候也称之为基数相等。
这里可以再次看到，所谓基数，就是元素数目！
而且，康托在这里通过具体例子说明这种一一对应关系和采用什么样的对应法则是没有关系的（【1】p64）：例如 1→1，2→2与1→2，2→1的对应法则虽然不一样，但最后都是一一对应。
既然如此，所谓基数和元素数目的区别，就不过是叫法不同而已，概念上并没有任何区别:都是抽去元素的性质和序关系和留下的东西，而且能一一对应时，基数和元素数目都相同。
至少到目前为止，康托关于基数即元素数目的理论还是自洽的，没有任何矛盾。而且根据他的一一对应的定义，无限集合的元素数目是大于其任一真子集的，两者之间应该不能一一对应。
这一切本来都很对，把基数当作元素数目也没有任何问题。
矛盾始于康托竟然在无限集与其真子集之间找到了一个所谓的”双射”函数，然后一切都乱套了！
以集合N1=｛0｝UN与其真子集N={1,2,3,....},为例，康托在N1={0,1,2,3....}和N之间
N： 1， 2，3,,,,
N 1：0, 1, 2.....
建立了映射f：N®N1，即1®0，2®1，3®2......并认为这是一个一一对应的映射。
然而，康托把问题考虑得太简单、太随意了。他以为只要开头几个元素排好就可以一一对应了，两个省略号里面的元素必然可以一一对应，至于为什么必然可以一一对应，他既没有讲出任何理由，也没有进行任何仔细的考察。
这种学术态度实在是太随意、太不认真了！
哪里有这么简单啊？
为了考察两个省略号里面的元素是否真的可以一一对应，我们不如设法把省略号里面的元素全部写出来看一下。为此，不妨像数学分析一样，定义一个趋于无限的正整数变量n,这样，n→∞时，
若设N={1,2,3,....n}, 则N1={0,1,2,3...n}
显然是不可能一一对应的:无论n等于多少，N1中的n在N中永远没有可以对应的元素！
有人可能会问:N1中的n为什么不可以由N中的n+1来对应？
问题在于，因为N1={0}UN，所以，N中如果存在元素n+1，N1中的N也必然存在元素n+1，N1中的n+1仍然无法在N中找到对应项，如果N1中的n+1由N中的n+2来对应, N中如果存在元素n+2，N1中的N也必然存在元素n+2，N1中的n+2仍然无法在N中找到对应项……总之，由于N与N1中的N是同一个集合，同一个集合的变量n只能取同一个值，否则就违反了同一律，而无论该变量取什么值，N1中永远存在一个元素在N中无对应项，这就是问题的严格答案。
相反，如果认为n是一个变量，就可以在同一个集合中取不同的变量值，违反了同一律，当然是不严格的。
还有多种方法可以证明上述映射并不是一一对应。
例如集合
n→∞时｛x|x=n-1,n∈N｝={0,1,2,....n-1},并不是N1={0,1,2,3...n}
n→∞时｛x|x=n+1,n∈N1｝={1,2,....n+1},并不是N={1,2,3,....n}
从上面的分析可以看到，康托之所以发生错误，是因为他想当然地以为省略号里面的元素总可以一一对应，其实不然。要保证省略号里面的元素可以一一对应，是需要满足一定条件的，例如，如果省略号里面的元素恰好都是同一个无限集合的元素，那当然是可以保证一一对应的。例如
设N=｛｝UN，与N1=｛0｝UN比较，由于省略号里面的元素都是N里的元素，N与N当然可以一一对应，但｛0｝与｛｝不能一一对应，所以易证N1=｛0｝UN与其真子集N不能一一对应。
我的贡献是用上述多种方法证明了无限集合与其任何一个真子集都不可能一一对应，这样一来，基数方面的所有逻辑漏洞就都没有了，且恢复了基数就是元素数目这一原来就成立的事实。
当然，相关的基数运算规律要全部推例重来！
这就是一切。
可见，引入了数学分折中趋于无限的整数变量n后，不但在本质上把数学分析中的无限观和集合论中的无限观统一了起来，消除了两者各说各的矛盾局面，同时使得集合论不但能研究处延确定不变的集合，而且还可以研究外延在不断变化的集合，我称之为弹性集合[2]，大大拓展了集合论的应用范围。
更重要的是，康托，希尔伯特，薛问天等的各种错误也因此一目了然了:
比如N1和N’虽然都可表达为{0,1,2……}但实际上并不是同一个集合n→∞时，如果设N={1，2，3……n}，则N1={0，1，2，3……n}，而N’ ={0，1，2，3……n-1}，薛先生居然还自以为”严格”证明了N1和N’是同一个集合！简直就是滑天下之大稽。同理，N和N2={x|x=2*n-1,n∈N}∪{x|x=2*n,n∈N}={1，3，5……，2，4，6......}={1，2，3……}，虽然都可以表达为{1，2，3……}，但也不是同一个集合：n→∞时，设N={1，2，3……n}，则N2={1，2，3……2n-1，2n}，还是同一个集合？
既然不是同一个集合，就必须承认，不存在一个包含所有自然数的集合，那不过是幻想出来的东西而已，没有任何严格的学术意义。
由此可见，以为省略号后面的东西都是一样的，这个想法实在太不严肃了！
这里要注意，由于并不存在唯一的自然数集合，因此对于不同的自然数集合就要加以严格的区分，例如，n→∞时，如果设N={1，2，3……n}，则{1，2，3……n+1}就是比N多了一个元素的另一个自然数集合。
不过要到到能够精细地区分不同的概念，薛先生的功力显然还远远不够，需要好好努力。
建议薛先生好好学习，不但要好好学习康托的原著，而且也要好好学习我的东西。我能看出康托的错误，薛先生却看不出，说明我们不是一个层次的人。你又怎么可能看出我的错误(如果有的话)？所以如果你说我有10个错误，实际上就证明你错了十次，你如果说我有1百个错误，就证明你错了1百次。绝无例外。
建议你暂时把所有的书本知识全部忘掉，然后冷静，客观地从0开始学习，不要有先入为主的偏见，也不要混淆概念，逻辑循环，自相矛盾，甚至对事实视而不见，这样才能找出你自己的错误所在，有利于你的进步。如果实在想不通，态度好的话，向我请教，我有时间或许会指点一二。
我这里只讲两个比较关键的问题，以减少薛先生在黑暗中摸索的时间，其余就要靠你自己的悟性了，有悟性你就会搞明白，没有悟性那就算了。
无限集比其任何真子集的元素数目都要多，这一点再清楚不过了，连这一点也要否定，那实在是奇葩。科学不过是用来解释事实的，连事实都不尊重，还搞什么科学啊，有这个资格吗？
你只证明了g是单射，但并没有证明g是N®N的单射。
你实际上证明的是N®N*的单射和满射，这里
N*=｛x|x=n+1,nÎN｝={2,3,4,...}, 不是N！
为了看得更清楚，仍然可令n→∞，若设N={1，2，3，…，n}，则N*={2，3，……n+1}，单射的像N*不在N内，故不能认为这个单射是N→N的单射。
如果一定要使得像在N内，这个像只能是=N-{1}={2，3，……n},不符合单射的条件2）
所以，这不是N®N的单射！
不要以为，只要能单射，其像就一定在N内！
数学不能差一点点，这么基本的问题都要搞错？还好意思在这里长篇大论地说我错了？
还有，以后不要随便用严格两个字来形容你的证明和推导，省得闹笑话。你完全没有这个能耐！
【1】 康托.超穷数理论基础，第二版，商务印书馆，2016
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https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1355074.html
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