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Zmn-0869 薛问天: 乱了阵脚，偷用双射，引出矛盾，竟去挑战集合的确定性。评李鸿仪先生《0867》后跟帖【2,3】

已有 753 次阅读 2022-7-29 11:46 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0869 薛问天: 乱了阵脚，偷用双射，引出矛盾，竟去挑战集合的确定性。评李鸿仪先生《0867》后跟帖【2,3】

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生《Zmn-0867》后跟帖【2,3】的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

乱了阵脚，偷用双射，引出矛盾，竟去挑战集合的确定性。

评李鸿仪先生《0867》后跟帖【2,3】

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

薛问天-s.jpg 非常有意思，看来我在《0867》中提出的问题确实击中要害。李鸿仪先生在跟帖中对这些问题的回答，已经乱了阵脚。采取隐蔽的方式，偷用了双射这个一一对应的概念，从而同他坚持的【元素数目】的规定，产生了严重的矛盾。不得已李先生竟想出了所谓认为不同【定义】:方式定义的集合不同，向集合的确定性进行挑战。当然这些都是无济于事，毫无用处的。最后只能坦然承认自己的错误。

一，采取隐蔽方式偷用双射这个一一对应的概念。

根据李先生提出的【元素数目】的三点规定(Ⅰ,Ⅱ, Ⅲ)，根本回答不出我提出的〖偶数集合同奇数集合的【素素数目】是否相等〗的问题。李先生在回答中独出心裁地构造出一个不证自明的命题:

【命题1: 对集合作任何不增减其元素数目的操作，集合的元素数目不变。】

而且说【将偶数集的元素定义为奇数集的每一个元素加1后得到的元素，显然，该操作不会改变元素的数目，所以根据命题1，这样定义的偶数集的元素数目与奇数集必然是是相同的。】

大家看清楚了吗？这是在偷偷地用双射概念，即一一对应的概念，来定义他所谓的【元素数目】。因为我们知道奇数集同偶数集存在双射一一对应，就是证明它们之间的映射y=x+1是双射。李先生只不过把【映射】，说成是【操作】。没有说此映射是双射，而是说【显然，该操作不会改变元素的数目，】仅此而已。

也就是说,李先生的命题1就是在偷用双射和一一对应的概念，来为【元素数目】的相等下定义。只不过把【映射】，说成是【操作】，把【映射是双射】说成是操作是【不增减其元素数目的操作】。

我们知道集合A中的元素变为集合B中元素的操作，数学语言讲就是映射。【映射是双射】是严格的数学语言表述的条件。而【不增减其元素数目的操作】就不是严格的数学表述。根本无法实际据此判定。请问李先生你怎么知道【显然，该操作不会改变元素的数目，】任意给你一个操作(即映射)，你根据什么来判定【该操作不会改变元素的数目】。

另一方面。要知道你这样把命题1作为【元素数目相等】的定义，是一个错误的循环定义。因为你是用【不会改变元素的数目】的操作来定义【集合的元素数目不变】。

二，偷用了双射概念后，同他的【元素数目】规定产生了严重的矛盾。

在回答偶数集同奇数集的【元素数目】是否相等时，李先生承认加1操作是使【元素数目】相等的。由于集合N={0,1,2,...}经加1操作可得出集合N+={1,2,3,...}。于是李先生就必然得出N同N+的【元素数目】相等的结论。

同理，A={a0,a1,a2, }经标号加1的操作，可生成B={a1,a2,a3,...}。于是推出A和B的【元素数目】相等。但是我们知道N+={1,2,3,...}是N={0,1,2,3,..}的真子集。B={a1,a2,a3,...}是A={a0,a1,a2, }的真子集。按照李先生关于【元素数目】的定义的规定

Ⅲ)，集合的真子集的元素数目小于该集合的元素数目。

N+同N的【元素数目】不相等，B同A的【元素数目】也不相等，这就产生了严重的矛盾。

三，不得已，李先生竟向集合的确定性提出了挑战。

这是严重的矛盾，如何解决这个矛盾，李先生竟然提出了一个奇妙的想法，认为同一个集合，让它定义不同，它的【元素数目】也可以不同。向集合本身的确定性提出了挑战。

李先生举了两个例子，他承认y=x-1 和y=2x，这两个映射都是不会改变【元素数目】的操作。集合N2={0,1,2,...}，可以由集合N={1,2,3,...}经过进行减1操作得到。从而N周N2【元素数目】相等，但李先生说【如果把N2定义为{0}UN,】则N2的【元素数目】大于N。

偶数集合是N经y=2x这个乘2操作得到的，从而偶数集合同N的【元素数目】相等。但李先生又说【把偶数集的元素定义为从N中抽取的偶数，显然, 这样定义的偶数集的元素数目只有N的一半了。】

也就是说，李先生规定: 集合的【元素数目】取决于【集合是如何定义的。】同一集合有不同的定义，它的【元素数目】就可以不同。

李先生还举了这样的实例。他说【把N={1，2，3……}的元素数目定义为∞，则将其中的偶数抽取出来后再都除以2，得到的也都是自然数，组成的集合N1=={1，2，3……}看上去与N并无区别，但直接根据N1的定义，就可知道N1的元素数目只有∞/2了。】

可是我们知道，这里的N和N1并不仅仅是【看上去】无区别，而是完完全全的同一个集合。

显然李先生这样的说法是错误的。我们知道集合的外延有明确的确定性。集合可以用不同的方式来给定和定义，但如果其含有的元素一样，这个集合就是唯一确定的，是相同的集合。让同一集合有不同的【元素数目】，这样的【元素数目】违背了同一律，是毫无意义的。

李先生文中还【王婆卖瓜，自卖自夸】地把他的【元素数目】同用双射一一对应定义的基数来作比较。我告诉李先生，这根本差得很远比不上。李先生原来提出的【元素数目】的三点规定(Ⅰ,Ⅱ, Ⅲ)，加上这次提出的【命题1】作为(ⅳ)。我已指出这个(ⅳ)，是偷偷地用了双射一一对应。一方面对【不会改变元素的数目】的【操作】未加严格数学定丈，犯有循环定义的错误，另一方面它和(Ⅲ)是矛盾的。李先生不得已提出了同一集合可以有不同【元素数目】的解释。因而【元素数目】并未形成一个正常的数学定义，并未对任何集合都给出了唯一确定的【元素数目】。这根本就不能比较，要知道基数是严格定义的数学概念，任何集合都有唯一确定的基数。

李先生在文中说的什么【基数显然做不到】【精确地比较集合的大小】，以及什么【基数方法不但复杂，而且容易产生悖论。】完全都是毫无事实根据的胡言乱语。

另外李先生还说【之所以认为映射不可靠，是因为映射并不是唯一的，不同的映射可以有不同的结果。那么多映射，该取哪一个？取得过来吗？】

这说明李先生对一一对应要求存在双射并未真正理解。一一对应只要求存在一个映射是双射即可。不存在李先生所涉及的那些问题。更何况如果对李先生的命题1进行严格的数学表示，就要用映射来表示【操作】，李先生也必须使用映射这个数学概念。

附李鸿仪先生在《0867》后的跟帖【2,3】。

[2]李鸿仪   2022-7-27 18:58
接下来回答薛先生另外一个重要问题
2，     李先生，你认为元素数目有确切定义，请你具体回答，偶数集合同奇数集合的元素数目，是否相等，谁大谁小？你能回答出来吗？

这个问题其实更关键，当初康托就是因为无法比较无限集合元素的多少，所以才提出了一一对应和基数概念。所以，一旦我们能够可靠地比较无限集合元素多少，那么一一对应和基数概念就根本就没有存在的了。
其实，要比较无限集元素数目并不困难，甚至毫无困难。关键在于要高度尊重这样一个科学事实：作为主观事物，任何集合都是定义出来的，所以离开了定义谈包括元素数目在内的集合的任何性质都是没有意义的，也是不科学的。尤其是无限集合，它的外延是无限的，不能只看头几个元素，就自以为对其处延已经十分清楚。例如，把N={1，2，3……}的元素数目定义为∞，则将其中的偶数抽取出来后再都除以2，得到的也都是自然数，组成的集合N1=={1，2，3……}看上去与N并无区别，但直接根据N1的定义，就可知道N1的元素数目只有∞/2了。
注意，我们这里是在用精确的元素数目概念来讨论问题，而不是用模糊的基数概念来讨论问题、不能用模糊概念来衡量评价精确概念。
在相容集合论中有这样一个不证自明的命题:
命题1:对集合作任何不增减其元素数目的操作，集合的元素数目不变。
这句话看上去简直就是同义反复的废话，其正确性应该不会有人质疑，所以我也没有证明，暂时把它看成不需要证明的公理也未尚不可。
该命题所依据的原理，其实也再简单不过了。物理学上有一个物质不灭定律，后来变成质能守恒定律，其实就是指任何事物都不会平白无故地产生或消失。集合论中的元素都是用来描述事物的，当然也不会平白无故地产生或消失，不妨将其称为元素不生不灭定律。比如我们并不知道宇宙中星球的数目究竟是多少，甚至不知道它是有限的还是无限的，地球在其中不过是沧海之一粟，微不足道，然而，地球再小，会莫名其妙消失吗？
在这样一个没有一个正常人会质疑的基础上建立的集合论，应该是可靠的。
虽然该命题再简单不过，但解决问题时却很有用。比如薛先生的这个问题回答如下：
将偶数集的元素定义为奇数集的每一个元素加1后得到的元素，显然，该操作不会改变元素的数目，所以根据命题1，这样定义的偶数集的元素数目与奇数集必然是是相同的。

[3]李鸿仪   2022-7-27 19:00
另一个例子是集合N={1，2，3……} 与N2={0，1，2，3……}的元素数目究竟是否相等？
这也完全取决于这两个集合是如何定义的。
1）将N2的元素定义为N的每一个元素减去1后得到的元素，显然，该操作不会改变元素的数目，根据命题1，这样定义的N2的元素数目与N必然相同。
2）如果把N2定义为{0}UN,该操作不会对{0}和N的元素数目有影响，且{0}与N无交集，所以根据命题1，这样定义的N2的元素数目比N多1。
最后一个是所谓的伽利略悖论:偶数集的元素究竟与自然数集的元素一样多，还是只是其中的一半？我早已完满解决该悖论，这里可以再重复一下
这也完全取决于偶数集是如何定义的。
1）将偶数集的元素定义为N的每一个元素乘以2后得到的元素，显然，该操作不会改变元素的数目，所以这样定义的偶数集的元素数目与N必然相同。
2）把偶数集的元素定义为从N中抽取的偶数，显然, 这样定义的偶数集的元素数目只有N的一半了。1
可以总结一下我的方法和康托基数方法的异同点:
1)目的都是为了比较集合的大小；
2)我用的是精确且明确的元素数目，所以可以精确地比较集合的大小，而基数显然做不到这一点；
3)我的方法是直接根据定义来计算，十分简单且可靠，不需要未必可靠的一一对应关系，也不会产生悖论，基数方法不但复杂，而且容易产生悖论。
听上去有点像王婆卖瓜，自卖自夸，是不是事实，只能让后人去评说了。
这里需要说明的是，之所以认为映射不可靠，是因为映射并不是唯一的，不同的映射可以有不同的结果。那么多映射，该取哪一个？取得过来吗？而且，严格说来，定义一旦确定，映射关系也就确定了，根本就不能够随意加上去的，既然如此，为什么不直接根据定义来计算，还要到1映射关系那边去拐一个弯呢