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Zmn-0856 Thebeater: 要分清集合的极限和实数的极限-评0853,0851

已有 250 次阅读 2022-4-6 08:57 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0856 Thebeater: 要分清集合的极限和实数的极限-评0853,0851

【编者按。下面是Thebeater:的文章,是对林益先生和薛问天先生《Zmn-0851》,《Zmn-0853》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神,对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意,也有些有严重错误的文章在这里发布,就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

 

 

要分清集合的极限和实数的极限

-评0853,0851

Thebeater

 

林益老师在0846里面提到了这样一个问题:如果A1=[0,0.9), B1=[0.9,1], A2=[0,0.99), B2=[0.99,1],... ...那么极限情况是什么样的?林益老师认为,因为每个Bn都是正长度的闭区间,那么极限情况下B_inf也应该是正长度的闭区间,这好像就论证了0.9循环不等于1了。

然而,这实际上是非常错误的,错误的原因就是没道理直接把有限时候的结论直接推到无穷。事实上,我们知道实数的极限理论,但是并没有一套关于区间的”极限“的理论,所以如果林益老师需要这样的结论,那么至少要重新证明,而不能想当然。在0852中,薛问天老师也直接指出了这个问题,并且给出了他认为的区间“极限”的定义。事实上,他的定义是有问题的,我觉得可能是薛老师一时疏漏吧。我等下会稍微提一些例子来说明。

我们先来看正确的区间”极限“理论是什么样的。实数的极限我们都很清楚了,但是更一般的,集合的极限是什么样的呢?事实上,就我所知,现在数学并没有一个比较公认并且常用的一列集合的极限的定义。有一些像上极限、下极限的概念,但是这些概念在集合论的研究中并不常用,而是在概率论里更为常用。但是,至少在林益老师这个例子里,其实不需要特别一般的集合的极限理论,只对于”单调“的集合讨论就够了。所谓的单调,是指的集合之间有一个接一个的包含关系,比如前面的例子里,A1是A2的子集,B2是B1的子集,以此类推。换句话说,{An}是单调上升的,{Bn}是单调下降的。如果一个数列单调上升,那么极限就应该是他的上确界。所以我们自然地想到,单调上升的集合列,极限应该是所有的并集;而单调下降的集合列,极限应该是所有的交集。

所以你看,这样的”极限理论“其实非常简单,甚至比实数极限还要简单,初中生就知道交集和并集的概念吧。唯一稍微要想一下的,是无穷多个集合的交集或者并集是不是良定义的。但是即便是无穷多集合,交和并的概念并没有变:x属于交集就是说x属于每一个集合;x属于并集就是说至少存在一个集合包含x。逻辑上来说,即便无穷个集合,交和并的元素都是确定的。

我来举一些例子吧。比如{[0,1/n]}单调下降,交集是{0};{[0,1/n)}单调下降,交集是空集;{[1/n,1-1/n]}单调上升,并集是(0,1);{[-1/n,1+1/n]}单调下降,交集是[0,1];{[n,+inf)}单调下降,交集是空集。这些都是可以直接验证的,可以说比实数极限还简单。

可能林益老师会问,如果一列集合一个一个取交,那么无穷能完成吗?这里确实是个好问题。首先,直观来说,我们并不用一个一个取交,而是可以把”x属于每一个集合“看成一个整体的性质,然后把满足这个性质的x拿出来。就像取从自然数一下子取出所有质数一样,这是可以做到的。实际上,“无穷多集合可以取交”是现代集合论的公理之一:通常称为并集公理(并和交是等价的,因为可以通过取补集得到)。大致上来说,并集公理就是说无穷多集合取并得到的那个东西还是集合。如果你真的坚信这里做不到,那只能是你跟现在的集合理论背道而驰,那得出相悖的结论也就不奇怪了。如果你真的发展出一套独立于现在的理论的新理论,这也是极好的。

 

最后,我简单讨论一下薛老师给的定义。首先,至少对于单调的区间列或者集合列,取交或者取并是自然的一个极限。既然如此,薛老师的定义就有两个问题:1 一列闭区间的极限没道理还是闭区间,或者说,具体最后得到的是开是闭取决于这一列集合的性质。2 如果这一列区间不是单调的,比如{[0,1+1], [0,1-1/2], [0,1+1/3],...},那极限是什么样就不好说清楚了(这时候有上极限和下极限)。

 

 


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