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Zmn-0855 薛问天: 论康托尔集(三分集)可以用受一定限制的三进制无穷小数表示

已有 400 次阅读 2022-4-5 08:51 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0855 薛问天: 论康托尔集(三分集)可以用受一定限制的三进制无穷小数表示

【编者按。下面是薛问天先生的文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神,对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意,也有些有严重错误的文章在这里发布,就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

 

 

论康托尔集(三分集)可以用受一定限制的

三进制无穷小数表示

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-s.jpg康托尔集(三分集),是由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入的(但也有人指出,它是由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现的)。

一,康托尔集的定义。

康托尔集是由区间不断去掉中间三分之一而得出。首先从区间[0,1]中去掉中间的三分之一开区间(1/3,2/3),留下两个闭区间:[0,1/3],[2/3,1]。然后,把这两个闭区间的中间三分之一开区间(1/9,2/9),(7/9,8/9)去掉,留下四个闭区间:[0,1/9}],[2/9,1/3],[2/3,7/9],[8/9,1]。把这个过程一直进行下去。......

康托尔集就是在经过所有上述的删去过程后,区间[0,1]中没有被去掉的的点组成。

 

二,实数的三进制表示。

由于这是三等分,这些端点用实数的三进制表示,最为方便。下面我们列的小数都是三进制小数。

三进制小数α=0.a1a2a3...an(ai∈{0,1,2}的实数等于:

α= a1/3 +a2/32 +a3/33 +...+an/3n

例如 0.0=0/3=0,0.1=1/3,0.2=2/3: 

0.01=1/32=1/9,0.02=2/9,0.10=1/3=3/9,0.11=1/3+1/9=4/9,0.12=1/3+2/9=5/9,0.20=2/3=6/9,0.21=2/3+1/9=7/9,0.22=2/3+2/9=8/9; 

0.001=1/33=1/27,0.002=2/27,......

 

三,康托尔集的三进制表示。

康托尔集可以用三进制小数这样表示。

首先从区间[0,1]中去掉中间的三分之一(0.1, 0.2),留下两个闭区间:[0.0, 0.1],[0.2, 1]。然后,把这两个区间的中间三分之一都去掉,即取掉(0.01, 0.02),(0.21, 0.22)。留下四个区间:

[0.00, 0.01],[0.02, 0.10],[0.20, 0.21],[0.22, 1]。把这个过程一直进行下去。......

我们总结一下,如果令Δn=1/3n=0.0...01(n位),则第n次生成的区间都可表示为[α,β]或(α,β),其中α=0.a1a2...an, β=0.a1a2...an+Δn。

我们知道三等分,每次删掉的都是左端点α=0.a1a2...an,中an=1的区间。而三等分剩下的则是左端点中的an=0和an=2的区间。例如,第一次去掉的是(0.1, 0.2),它的左端点是0.1, 其a1=1 留下两个闭区间:[0.0, 0.1],[0.2, 1],它的左端点是0.00.2, 其a102。第二次去掉的是(0.01, 0.02),(0.21, 0.22),它的左端点是0.01和0.21, 其a2=1 留下4个闭区间:[0.00, 0.01],[0.02, 0.10],[0.20, 0.21],[0.22, 1],它的左端点是0.00, 0.020.20, 0.22, a1,a2 都是02

因而我们得知,凡是区间的左端点α=0.a1a2...an,中的所有ai都02的区间,是三等分剩下的闭区间。只要左端点的α=0.a1a2...an中有某bi=1,则是被删除的区间。

这样一来,我们就搞清楚了,三等分第n次剩下的闭区间是所有的以这样的三进制小数α=0.a1a2a3...an为左端点,以 α+Δn为右端的区间,而这种三进制小数的位数值ai只有0或2而没有1。所以第n次三等分剩下的区间共有2n个(因为所有的n位三进制数有3n个,但这样的n位三进制小数共有2n个)。

无穷次的三等分,最后剩下是是什么?所谓无穷次的三等分,就是完成这所有(n=1,2,3,...)的第n次三等分。这无穷次的三等分可以完成,但并不存在最后一次三等分,因而剩下的不是有穷个区间。而是每次剩下的区间。所有这些次的三等分剩下的这些区间,可以看出分成很多区间套,即由ai=0或=2生成的 区间套: [0.a1, 0.a1+Δ1],[0.a1a2, 0.a1a2+Δ2],[0.a1a2a3, 0.a1a2a3+Δ3],...。显然,我们由区间套定理得知,每个这种区间套包含一个交点,是无穷小数,0.a1a2a3...。而这些无穷小数代表的实数,就是康托尔集合的所有元素。

可证这样的区间套共有不可数无穷多个,因而知这样的三进制无穷小数是不可数的。也就是说康托尔集是不可数的。

 

四,康托尔集是完全可以用自身元素表示的集合。

在《0846》和《0854》中,林益先生认为,康托尔三分集P0【是不能客观存在的集合, 是根本无法用其自身构成闭区间表达的, 新华先生认为【在数学中,经常遇到让人无法用明确方法表示的无奈情况,】实际上並不是这样,在数学中,只要是经过严格定义的教学概念,都能用明确的数学方法严格地表示。

康托尔的三等分集合也不例外,它不是闭区间,而是由闭区间套决定的实数的集合,可以用受一定限制的三进制的无穷小数表示。即康托尔集

P0={x|x=0.a1a2a3...,这是三进制无穷小数,但限制其中的ai仅属于{0,2}。}

也就是说康托尔集是确定存在的集合,是完全可以用自身元素表示的集合。

 

参考文献



 

 

 

返转到

   zmn-000文清慧:发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录

       






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