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2022年高考数学第7,17题解

已有 2407 次阅读 2022-6-11 14:44 |系统分类:科普集锦

第7题: 假设三个数$a = 0.1 e^{0.1}$, $b = 1/9$, $c = -\ln(0.9)$,比较这几个数字的大小。

这个题目可以直接计算得到,比如

\begin{equation} a = 0.1 e^{0.10} \simeq 0.1 (1  + 0.1 + 0.01/2) = 0.1105, \quad b  \simeq 0.1111, \quad c \simeq 0.1 + 0.01/2 = 0.105. \end{equation}

马上可以得到$c < a < b$。这个题目蛮有趣,我看一些人的求解方法用到了导数构造法(尽管比较严格),就复杂了。


第17题:数列$s_n/a_n$为公差为1/3的等差数列,$a_1 = 1$, 回答下图两个问题。

首先$n=1$, $a_1 = 1$。下面计算$n=2$,我们有

\begin{equation} (1 + a_2)/a_2 = 1+ 1/3 = 4/3, \quad  a_2 = 3. \end{equation} 计算$n=3$,有

\begin{equation} 1+3+ a_3 = (1+2/3) a_3, \quad a_3 = 6. \end{equation} 下面计算$a_4$, 有

\begin{equation} 1+3+6 + a_4 = (1+1) a_4, \quad a_4 = 10. \end{equation}

于是猜测$a_n = 1+2+3 + \cdots + n = n(n+1)/2$。然后利用归纳法证明它。我们只需要证明

\begin{equation} a_{n+1} = s_{n+1} - s_n = (1 + n/3) a_{n+1} - (1 + (n-1)/3) a_n. \end{equation}

将这个猜测的表达式代入这个方程,马上看到是正确的。所以

\begin{equation} \sum_{i=1}^n {1\over a_i} = \sum_{i=1}^n {2 \over i(i+1)}  = 2 - {2 \over n+1} < 2. \end{equation}

犹记20年前高考的样子。今天看到这两题,蛮有趣,所以做一下。看到别人的一些解答,过于形式化,我觉得还可以有更加直观的理解。

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