数学像一棵大树，根植于其他学科的沃土，却又以自己的方式向上开枝散叶，而其果实和木材却往往被挪为他用。在17世纪分数阶导数已是这棵大树上的一根枝条，但是由于其定义太过抽象无人觉得它有实用价值。直到近几十年人们才意识到它比通常的导数具有更强的表现力，能够更好地反映事物的变化，其相应的理论和应用研究才多起来。目前分数阶导数已被用于粘弹性和流变学、电力工程、生物学、信号处理和控制工程等学科^[1]。

其实，分数阶导数之所以能够有如此广泛的应用是因为它能在一定程度上反映某些动力过程的“记忆依赖性”^[2]（指当前状态对过去状态具有依赖性）。但是，用分数阶导数来刻画这种记忆依赖性存在两点不足：(1)记忆依赖区间[a, t]随时间t增加而不断增大(a是某个给定的数)，但实际的物理过程对过去状态的依赖一般是某个有限的时间段[t-τ, t]，其中τ为时滞；(2)所定义的积分中关于过去的依赖权重函数是一个具有奇异性的确定函数，不能满足不同物理过程对权重函数的灵活性要求。针对分数阶导数的上述缺陷，我们在文[3]中提出了一种新导数——“记忆依赖型导数”(memory-dependent derivative）来代替分数阶导数，以便更好地刻画各种具有记忆依赖性的动力过程。

   在Caputo型分数阶导数^[4] (m-1<α≤m)

                                                    (1)

的启发下，我们定义“记忆依赖型导数”如下：

                                                                                      (2)

其中f ^(m)(s)表示通常的整数m阶导数，τ (>0)是时滞它表征记忆依赖时段的长短。权重函数K是一个m阶连续可微函数。当K≡1时m阶记忆依赖型导数退化成通常的m阶导数。高阶导数和低阶导数还具有一贯性和相容性。另外，易验该导数还满足线性性质。

由上述分析可知这样定义的导数是自洽的。它以通常导数在过去某段时间上的一种加权平均形式表示，具有很直观的物理意义，同时也弥补了Caputo型分数阶导数的不足。其积分区间不再依赖于给定端点a而是随时滑动的，其刻画过去对当前影响的权重函数K不再是固定形式而是可以根据具体需要来选择。

进一步，我们把含有记忆依赖型导数的微分方程称为“记忆依赖型微分方程”。由此可以用记忆依赖型微分方程来建立动力系统模型。该研究有待深入。

[1] Sabatier J, Agrawal OP and Machado JA, Advances in Fractional Calculus: Theoretical Developments and Applications in Physics and Engineering, Springer, Dordrecht, Netherlands, 2007.

[2] Mishura YS, Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Related Processes, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2008.

[3] Jinliang Wang and Huifeng Li. Surpassing the fractional derivative: Concept of the memory-dependent derivative. Computers and Mathematics with Applications, 62 (2011) 1562-1567.

Introduction to the Concept of Memory-Dependent Derivative.pdf