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《常数》 精选

已有 5017 次阅读 2022-7-10 04:29 |个人分类:系列科普|系统分类:科普集锦

1,从阿蒂亚黎曼猜想说起

 

数学中有一个著名的黎曼猜想, 2018 9 月,89 岁的阿蒂亚宣称他证明了黎曼猜想。第二年的1月份,阿蒂亚就逝世了。据说阿蒂亚在他45 分钟的演讲中,前30分钟都在介绍历史,最后的证明只有一页 PPT就完成了。他的整篇论文也就5页纸,大多数数学家认为,这样的“证明”无法让人信服,因此,黎曼猜想至今仍未被解决!

 

然而,阿蒂亚是通过理解量子力学中的“精细结构常数”而得到启发试图解决黎曼猜想的。无论他的证明正确与否,都令我们思考物理常数和数学常数,思考精细结构常数的意义。

 

物理学家们早就被这个常数迷惑住了。这是个什么玩意儿呢?

精细结构常数的起源伴随着量子力学的诞生, 继普朗克的黑体辐射研究及爱因斯坦解释光电效应之后,玻尔提出了原子的玻尔模型来解释类氢原子 的光谱。这是一个半量子半经典的模型,对一般的原子光谱应用有限,1916 年,索末菲对波尔模型解释的光谱中的某些精细结构作出新描述的过程中,引进了这个“精细结构常数”。

首先,精细结构常数的表达式:

索末菲当年的目的只是用它来简化数学表达式,但之后发现这是个 无量纲的纯数字后,这个常数魅力越来越大,由它产生的悬念也越来越多。这个常数的倒数是137,与137有啥关系吗?令人百思而不得其解。

 

作为一个物理常数,第一个悬念显然是:精细结构常数的物理意义是什么?可以总结为如下4点。

 

1,对当时的波尔模型而言,可以看成是氢原子中的基态电子运动速度与光速的比值。然而随着量子力学的发展,薛定谔方程建立起来,人们开始用电子云和几率描述核外电子,经典理论中电子的轨道和速度的概念失去了意义。

 

2,α在原子发光的细节过程中起着重要作用:核外电子运动时产生磁场,磁场与别的电子相互作用,使原子能级发生“精细”变化,即光谱“劈裂”:原来的一条线劈裂成相距很近的两条。产生光谱“精细结构”。精细结构能级差与普通光谱能级差之比为α的平方,这也是这个常数名字中“精细”一词的来源。

 

3, α是电磁相互作用的 耦合常数” (coupling constant) 描述了电磁相互作用的强度。

 

4,α是基本电荷e、 普朗克常数h及光速c的归并,几个常数分别代表电磁作用、 量子论及相对论。

 

著名物理学家中, 对精细结构常数最着迷的有泡利和费曼。泡利认为当时物理学上的一些棘手问题有可能随着精细结构常数的确定而得到解决;泡利在诺贝尔演讲中提出应将确定精细结构常数视为量子场论的目标;泡利去世前病重时,问前往医院探望的助手,是否注意到病房号码是137!。费曼曾经说: 理论物理学家常将这个数贴在墙上对着冥思苦想它是物理学中最大的、 该死的谜团之一: 一个出现在我们面前的无法理解的魔数。

 

以上4条物理意义不知哪一条是更本质的?但第4条最有魅力,似乎是说明这个常数与物理学中3个重要理论都有关。物理常数一般都有量纲,虽然α是由e、h、c组成,但最终归并的结果却是一个无量纲的“纯粹”的数。好像归并后,这个数的物理意义突然消失了似的,颇像一个数学常数。它到底是物理常数还是数学常数呢?令人困惑。

 

2,物理常数和数学常数

 

一帮认为,物理常数与数学常数不同,主要是在于大多数物理常数与测量有关,因此也有量纲。而数学常数可以从纯粹的数学概念推导出来。然而如果我们溯源这些常数被发现的历史,就会发现,一个数是物理常数还是数学常数,是会随着我们对它的认识深度而改变的。

 

举圆周率π为例,π是圆周长和其直径的比值。圆有大有小,但其周长与直径的比值却保持不变。可以说,人们最初对π的认识也是与“测量”有关的,测量周长测量直径,计算它们的比值,发现大圆小圆比值相同等等。然后几何发展了,利用几何方法计算π代替了测量。更多的数学研究证明了它是一个无理数,一个无限不循环小数,一个超越数。所以,现在我们当然认为,圆周率π是一个数学常数不是物理常数,因为依赖物理测量,是判定不了无理数和超越数的。

 

我们再来理解一下自然常数e。历史而言,e从一开始就是在数学上被认识的。然而,e实际上与大自然的许多现象紧密相关,即使没有从数学上被导出,也有可能在科学活动中被发现。

 

自然界中很多增长或衰减过程(包括生物体)都可以用指数函数模拟,即e与增长(衰减)速度有关!的确是非常“自然”的一个常数!

 

例如,我们观察自然界中植物的生长过程,比如一棵竹子。某一天这棵竹子1米高,1天之后变成了1.1米,于是有人说:1天长0.1米,20.2米,10天之后就多出1米,变成2米高。

 

但仔细想想上面的说法,不对啊!自然界生物的生长过程不是那样的,1米的竹子第1天长0.1米,第21.1米的竹子应该增加得比0.1米更多才对,因为原来的老竹子继续长0.1米,但昨天长出的0.1米的新竹子也会按同样的比例增长,无论老竹子新竹子,细胞都一样地分裂。将这个考虑加上去,两天后的竹子可以如下计算: (1+0.1)= 1.21,高度应该是1.21米。依次类推,10天之后的竹子高度(米)是  (1+0.1)10  = 2.59374246。这个数值比上面算出的2米多出了0.59374246米,这是容易理解的,因为考虑了每天长出的新竹子、再生新竹子、再生再生新竹子……的能力在内。听起来有点像借高利贷时候的“利滚利”。

 

再进一步分析这个问题,感觉越来越复杂,也越来越有趣了!上一段说法是基于竹子每天的增长率0.1而言。但为什么要以“天”作为竹子生长的基本时间单元呢?事实上,竹子是每时每刻都在生长的。比如说,也可以用“小时”来作为时间单元。那么,每小时的增长率是1/240,同样考虑10天之后以米为单位的竹子高度:

 

h240 = (1+1/240)240  = 2.71264

 

现在我们看看e的数值是多少呢?从维基百科查到e = 2.71828……,与我们刚才用小时作为时间单元计算的数值h240 = 2.71264挺接近的。这点是不难理解的,因为定义e的数学公式之一就是:

 

                                            3.1

 

h240n = 240时的数值。

 

分析到这儿,读者已经不难看出自然常数e的“自然性”了。我们可以将上面“竹子生长”问题的时间单元再小下去,小到分、秒等等,细分也就等效于将n增大,计算结果会越来越接近自然常数e

 

因此,自然常数e的确是存在于自然界、宇宙中的描述自然规律的一个具有重要意义的常数。除了植物生长外,动物繁殖也有类似规律。非生物界的许多变化,也涉及到e,例如物理学中的放射性衰变等。

 

总的来说,e涉及的是连续和变化。正因为自然常数e来自于自然,大自然生物界以及宇宙星辰中的许多图案,都与e有关,例如常见的对数螺旋线等等。但数学上定义的e,是n趋于无限时的极限,或者说,在竹子生长的例子中,所取的时间单元要趋于0

 

前面说过,自然常数e最早是从数学上定义的,并且也证明了它是无理数,也是超越数。所以当然地被归于数学常数。下面给出一个简单的证明,证明e是一个无理数:

 

 

但从π和e的发现史来看,许多数学常数 “本质”上可能都是物理常数,尽管数学本身有其独立发展的逻辑性,但数学和物理一样,毕竟都是来源于这个世界描述同一个宇宙的。除了π和e之外,还有在混沌理论中发现的描述混沌形成过程的、被归于数学常数的两个费根堡常数,也可以作为例子。混沌现象本来就是一个常见的科学现象。这儿我们就不再赘述了。

 

3,回到精细结构常数

 

有位科学家说过:“上帝是个纯粹数学家!”,科学研究的事实越来越证实:我们的宇宙的确是围绕着优美的数学物理理论而构建的。科学的真谛就是探索奥秘,在这些自然之奥秘中,“常数”扮演着不平常的角色。物理常数一般具有单位(量纲),例如万有引力常数G、光速c、普朗克常数h等等。然而,精细结构常数却没有单位,是一个纯粹的数,这是使物理学家们迷惑的原因之一。

 

按照阿蒂亚的意思,α可能是个数学常数。它的性质也许跟 π 那样的数学常数差不多。说到π,定义是圆周率,是一个不变的数学常数。但是,只有在欧氏空间,圆周率才是常数,黎曼几何中就是变动的。

 

但数学常数能从数学上推导或理解, 精细结构常数却是一个物理常数, 它能否像数学常数那样从纯理论的角度进行推导和理解?

 

有人认为:精细结构常数137.03599913 是一个会“跑动”的数,描述两个电子相互吸引力大小,它的耦合常数随着时间的变化而变化,并不是一个“真的常数”。

 

但像1/137.03599913这样的数字到底是从哪里来的呢?它是碰巧取了这个值呢,还是来自宇宙更深层的理论?仍然是一个谜。

 

物理学家多次尝试从物理学理论导出α,或编造出一个含有α的数学公式,然而都没有成功。阿蒂亚认为,精细结构常数应该像圆周率一样,具有同样的数学上的意义。瑞士一位年轻数学家阿尔芒·维勒(Armand Wyler)在1969年,发现(9/16π3)(π/5!)¼的结果约为1/137.036,但这个公式背后没有任何理论支撑,只能作为一种游戏或巧合。

 

4,更多著名的物理(科学)常数

 

物理学描述宇宙万物,物理常数(或广义而言为科学常数)应该是宇宙万物的基础,宇宙之谜。对应于人类对万物知识的结晶-科学而言,这些常数代表了科学的各个领域。例如,万有引力常数G代表引力理论;光速c代表涉及高速运动的狭义相对论;普朗克常数h代表描述微观世界的量子力学;阿伏伽德罗常数NA代表解开分子运动之谜的化学;玻尔兹曼常数kB代表统计、熵增加的热力学;描述恒星演化的物理理论中,有一个钱德拉塞卡极限(大约是1.44倍太阳质量),代表广义相对论预言的引力塌缩过程。

 

宇宙学中也有几个常数,值得更为深入的理论研究探索,等待更多更精确的实验观测数据。虽然在学界对宇宙学(大爆炸理论)基本上已经有一定的共识,但毕竟是新发展的学科,实验验证的方法也有限。这两个常数:一是代表宇宙膨胀及宇宙年龄的哈勃常数H0,二是爱因斯坦自己最早引入在引力场方程中的“宇宙常数”Λ。

  

哈勃常数起源于哈勃对若干河外星系的观测。 上世纪20年代,在洛杉矶威尔逊山天文台工作的哈勃,借助望远镜以及观测光谱红移,得到宇宙正在不断膨胀的结论。表征星系与地球之间的距离D,与其飞离地球的速度v间的关系(哈勃定律)的比例系数,就是哈勃常数H0

 

哈勃定律:  v(速度) = H0D(距离)  

 

从哈勃定律,科学家们建立了宇宙演化的大爆炸模型,哈勃定律经常被援引作为支持大爆炸理论的一个重要证据。宇宙演化的初始时刻是广义相对论理论中的一个奇点。在那“奇点”时刻,宇宙中的所有物质,不管是恒星还是星系,都被紧密地压缩在一个点中。并且由此理论可以确定宇宙的年龄,即奇点发生的确切时间,是大约137亿年前。

 

哈勃定律的确描述了一幅宇宙不断扩展膨胀的图景,其中的H0当时被认为是一个常数,后来被认为随时间而变化,叫做哈勃参数。到底是否常数?还需时间验证。根据2013321日普朗克卫星观测获得的数据,哈伯常数大约为67.80±0.77 千米每秒每Mpc

 

另一个“宇宙常数”(或称宇宙学常数)Λ,是爱因斯坦在1917年的一篇广义相对论文章中引入的。

 

爱因斯坦建立了引力场方程后,物理学家和天文学家蜂拥而上,使用各种数学方法研究方程的解,将其与牛顿经典理论比较,用以解释各种天文观测现象。当时的宇宙学还只是一个初生的婴儿,物理和天文学界基本上公认宇宙的静态模型。所谓“静态模型”,并非认为宇宙中万物静止不动,而只是就宇宙空间的大范围而言,认为宇宙是处处均匀各向同性的,每一点处朝各个方向看去都会有无穷多颗恒星,恒星之间的平均距离不会随着时间的流逝而扩大或缩小。但是,根据广义相对论的运算结果,宇宙并不符合上述的静态模型,而是动态的,有可能会扩张或收缩。爱因斯坦为了使宇宙保持静态,在引力场方程式中加上了公式中包括宇宙常数Λ的一项。

 

不过,爱因斯坦的想法很快就被天文学的观测事实推翻了。

 

 首先,物理学家证明了,即使爱因斯坦的宇宙常数提供了一个能暂时处于静态的宇宙模型,这个静态模型也是不稳定的。在1922年,前苏联宇宙学家亚历山大·弗里德曼根据广义相对论从理论上推导出描述均匀且各向同性空间的弗里德曼方程,在这组方程中,不需要什么宇宙常数,得到的解却不会因为互相吸引而塌缩,而是给出了一个不断膨胀的宇宙模型。弗里德曼第一个从数学上预言了宇宙的膨胀之后,一位比利时的天主教神父,也是宇宙学家的乔治·勒梅特独立得到与弗里德曼同样的膨胀宇宙的结论。1929年,哈勃宣布的观测结果证实了这两位科学家对“宇宙膨胀”的理论预言,并由此而否定了引力场方程中宇宙常数一项的必要性。哈勃的观测事实,令爱因斯坦懊恼遗憾不已,认为这是他犯的最大错误,要撤回宇宙常数。

 

这个常数后来又被物理学家们请回来,根据天文观测的实际数据来调整它的正负号,决定对它的取舍。比如,在1998年以前,人们认为宇宙是在减速膨胀,不需要宇宙常数这一项,便将它的值设为0。但大家又总是心存疑问,所以,那时候的“宇宙常数问题”是为什么宇宙常数是零?1998年的观测事实证明了宇宙是在加速膨胀,这下好了,宇宙常数不应该是零了!物理学家们将它设为非零,用以解释宇宙为什么加速膨胀。但是,问题又来了:这个宇宙常数到底是个什么东西?它为什么不是零?

 

也有学着们将宇宙常数解释为真空能量,但怎样计算真空能量密度却是物理学中尚未解决的一个大问题。如果把真空能量当作是所有已知量子场贡献的零点能的总和的话,这样得出来的结果比天文观测得到的宇宙常数值大了120个数量级!

 

后来,宇宙常数又变成了“暗能量”的同义词,但我们对暗能量知之甚少,使得当下的宇宙常数疑难也就成为暗能量疑难。因此,宇宙常数仍然是一个未解之谜。

 

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天方趣谈:https://www.youtube.com/channel/UCS1x2HDRo4Gtbza296mICiA/videos?view=0&sort=da

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