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数学笔记(001)自然数集合的皮亚诺公理及其它

已有 8567 次阅读 2017-8-9 23:42 |个人分类:数学笔记|系统分类:博客资讯

数学笔记(001)


  自然数集合的皮亚诺公理及其它


数学笔记系列的前言

{begin}

这是从非数学家的观点,即用户--上帝的观点来写的笔记。欢迎数学家和非数学家的指正和讨论。

拍砖也可以,但必需有礼貌!换句话说,可以讨论学问,不准人身攻击。

{end}  


数学,是关于数和形的学问。

数,包括各种数集。自然数是最基本的数集,是所有其它数集的基础。

虽然大家都知道自然数,能准确了解自然数集合却需要懂得现代数学的基本思想方法--公理化。


(1)零是不是自然数,是一种option。现在通常把零包括在自然数集合内,可以和计算机编程相容。


(2)自然数集合的皮亚诺(Peano)公理用普通科技语言(非数学家的语言)的叙述如下:

① 0是自然数;

② 每一个确定的自然数a,都有且只有一个确定的后继数a' ,a' 也是自然数(一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数,例如,1的后继数是2,2的后继数是3等等); 【注:10进制计数法!】

③ 如果$a$ 是 $b,c$ 的后继数,那么 $b=c$;

④ 0不是任何自然数的后继数;

⑤ 任意关于自然数的命题,如果证明了它对自然数0是对的,又假定它对自然数n为真时,可以证明它对n' 也真,那么,命题对所有自然数都真。(这条公理也叫归纳公设,保证了数学归纳法的正确性) .


(3)计数法:10进制,2进制,16进制......。


(4)加法

自然数集合里的最基本的“二元运算关系”加法,可能是这么定义的:

         $a+0=a$

         $a+1=a'$

         $a+b'=(a+b)'$

然后就可以由递推的办法求出任意两个自然数a,b的c,记作: $c=a+b$。


(5)乘法

第二个基本的运算当然是乘法,可能是这么递推定义的:

        $a\cdot 0=0$

        $a\cdot b'=a\cdot b+b$


【后记】 现在我们可以回答为什么和什么条件下 1+1=2 了!

在自然数集合的10进制计数法里,有:

          $ 1'=2 $

按照自然数集合加法的定义:

          $a+1=a'$

所以:

          $1+1=1'=2$

在其它数集,计数法和加法定义下,可能有:

          $1+1=10$

          $1+1=1$

          $1+1=0$

         





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