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魔方与数学 精选

已有 13547 次阅读 2011-6-16 21:53 |个人分类:数学相关|系统分类:科普集锦| 数学, 魔方

《大学指南》杂志约的稿,要写点关于数学魅力的,没啥好写的只好瞎掰下魔方,不到一天时间临时凑出来的文章,质量不高。登在今年4月号上,编辑做了较大删减,这是原稿。为避免版权争议请勿转载!谢谢!


魔方与数学

数学,恐怕是令很多中学生最为头疼的课之一,繁琐枯燥的数字、代数式、函数,想不明白的线、面、立体,很多人因为它选择了对数学要求相对较低的文科。但是,在它枯燥又晦涩难懂的面纱背后,隐藏着无穷的魅力,只要有一颗愿意去发现、探究的心,数学展现在面前的是奇妙与精彩。

 

数学可以渗透到日常生活的方方面面,甚至是玩乐,一个简单的游戏,一种普通的玩具,都可能蕴含着数学的精彩。非常高深的数学,很可能就在其中完美体现。本文将从一个风靡世界的玩具——魔方——出发,探讨数学与玩具的完美结合,追寻数学的魅力。

 

魔方的发明与流行

 

通常所说的魔方,其国际标准称呼是鲁比克魔方,由匈牙利布达佩斯应用艺术学院的建筑学教授鲁比克·艾尔内于1974年发明。关于鲁比克发明魔方的初衷,流传甚广的一个说法是为了发明一种教具,以帮助学生理解、认识立体空间的构造。鲁比克一开始并没有意识到他发明了一个极 其具有挑战性的益智玩具,当他第一次将自己发明的魔方打乱,才发现了这个后来被无数人反复证明的事实:复原状态的魔方一旦被打乱,想要将其复原是一件极其 困难的事情。有报道说,一个智力正常的英国人从1983年接触魔方开始,花了26年时间才依靠自己的力量将魔方复原。

 

1980年初,一家玩具公司将魔方带至在巴黎、伦敦和美国的国际玩具博览会上展出,此后不久,随着魔方制造技术的改进,魔方迅速风靡全球,到1982年,短短的3年间魔方在全球就售出了200多万只,而到今天,全世界售出了数亿只魔方,魔方已经成为全球最为流行的玩具之一。

 

魔方发明以后,就开始有大量的人绞尽脑汁思索如今将其复原,并且更进一步设法在尽可能短的时间内将其复原。随着魔方的流行,相关的比赛开始举办,也建立起相关组织,1981313日,第一场魔方比赛举办,一位慕尼黑人以38秒的复原时间赢得冠军。198265日,在匈牙利首都布达佩斯举办了第一次国际性的魔方比赛,最短复原时间缩短到了23秒。2003年开始,世界魔方协会开始定期举办魔方比赛,比赛规则、项目都得到发展与完善,并为了减少单次复原时间的偶然性,将冠军改由多次复原的平均时间来决定。在魔方复原方面的竞争异常激烈,创造了一个又一个惊人记录,2011年初,一个澳大利亚人创造了单次6.65秒,平均7.87秒的新纪录。

 

随着魔方的流行,其他类型的魔方也逐渐被发明。通常所说的魔方指的是三阶魔方,也即魔方每条棱上包含三个小方块。最早的二阶魔方于1970年被发明,而鲁比克在发明三阶魔方后不久重新开发了二阶魔方,以及高于三阶的魔方。迄今为止,高于七阶的魔方已经被发明出来,而从二阶到七阶魔方,都有相关的比赛举办。

 

在我国,魔方在上世纪80年曾是儿童最为抢手的玩具,但90年代,魔方逐渐被冷遇。近年来,在国内一些魔方高手的努力下,魔方开始重新流行起来,被越来越多的人所关注,并且,魔方不再被认为仅仅是一种儿童手中的玩具,更是一种休闲放松的方式和体育竞技形式,而且极具刺激性与挑战性。国内高手的最短复原时间也逐渐接近国际最好成绩,2010年,阴目仑创造了8.33秒的国内最短单次复原记录,而平均时间的最短记录由李开隆创造,为9.81秒。

 

魔方的构造及复原方法

 

魔方核心是三个相互垂直的轴,保证魔方的顺利转动。外观上,由26个小正方体组成一个正方体。包括与中心轴相连的中心方块6个,相对位置固定不动,仅一面涂有颜色。棱块12个,两面有颜色。角块8个,三面有色。复原状态下,魔方没面都涂有相同的颜色,六个面的颜色各不相同。魔方每个面都可以自由转动,从而打乱魔方,形成变化多端的组合。

如前所述,魔方一旦被随意打乱,将其复原是一件极其困难的事。但30多年来,众多魔方玩家已经发明出众多的魔方玩法,可以让一个初学者在短时间内学会将任意排列的魔方复原。复原方法包括层先法、角先法、棱先法、桥式方法、CFOP法等等。其中最早发明的也是最为流行的方法是层先法。

 

限 于篇幅,本文不打算详细讲解魔方的复原步骤,仅对层先法做简要介绍,感兴趣的读者可以到网上搜索相关的教程、视频。可以将魔方看成一个三层结构的立方体, 层先法的基本思想是逐层复原魔方,其第一步是选取任一面作为顶层,在顶层复原出一个十字,但该层四个棱块侧面的颜色必须和侧面四个中心块的颜色对应,如图 所示。之后再逐层复原。熟练掌握后,利用此法可以在一分钟内复原魔方。

 

魔方与数学:排列组合

 

魔方复原的困难,一方面在于其打乱后存在着大量的组合。组合的数量可以按照如下方式计算:8个角块可以互换位置,存在8!种组合,又可以翻转,每个角块可以具有3种空间位置,但因为不能单独翻转一个角块,需要除以3,总共存在8!×37种组合;12个棱块可以互换位置,得到12!,又可以翻转,得到212,但因为不能单独翻转一个棱块,也不能单独交换任意两个棱块的位置,需要分别除以2,得到12!×212/(2×2)种组合。

 

联合起来,得到魔方的所有可能组合数为:

8!×37×12!×212/(2×2)=43,252,003,274,489,856,0004.33×1019

这是一个天文数字,如果某位玩家想要尝试所有的组合,哪怕不吃不喝不睡,每秒钟转出十种不同的组合,也要花上千亿年的时间才能如愿,这是当前宇宙年龄的约10倍。

 

实际上,如果将魔方拆开随意组合,其组合情况将多达5.19×1020种。也就是说,如果拆散魔方,再随意安装,有11/12的几率无法恢复原状。所以如果魔方被拆散,安装时应按复原状态安装,否则极可能会无法复原。

 

魔方复原的另一个困难来自于我们只能安装特定的方式复原,即反复旋转某一面,一面上的9个方块必须整体参与运动,这样我们在复原过程中总是会打乱已经复原的部分,这种限制大大加大了复原魔方的难度。

 

魔方与数学:群

 

群论是数学中的一个重要分支,有着广泛的应用。理解群论是困难的,它是部分专业的研究生课程。不过,魔方这个大众化的玩具为理解群论提供了帮助。

 

首 先,用小学生就已熟知的概念说明什么是群。考虑所有的整数以及加法运算,我们能发现如下几个简单的事实:任意两个整数相加所得结果仍然为整数;加法满足交 换律;任一整数与零相加为其本身;任一整数存在相反数并与其相加结果为零。这四条性质分别称为:封闭性;结合律;存在单位元(注:这里的元意为元素,该例 中单位元为整数中的零。);存在逆元。亦即群的定义为在某种操作下满足上述四个条件的元素的集合。本例中,整数在加法运算下构成一个群。

 

对魔方的所有独立操作也构成一个群,举一个最简单的例子,对魔方任意面的操作构成一个群,这个群包含四个元素:空操作,记为M0;顺时针旋转90°,记为M1;逆时针旋转90°,记为M-1;旋转180°,记为M2。群运算为任意两个操作的联合操作,例如M1M2,意思为先对魔方某面顺时针旋转90°,再旋转180°。很容易证明这四个元素满足上述四个条件:封闭性、单位元(即M0)、逆元(M1 M-1互为逆元,M0 M2的逆元是其本身)都是显然的;对结合律,明显有M1 (M-1M2)= M1 M1= M2,而 (M1 M-1)M2= M0 M2= M2

 

对魔方的所有操作,情况复杂一些,但同样可以证明他们构成一个群。

 

引入群论的一个重要作用在于群论在研究对称性方面的突出优点,考虑魔方的对称性,我们马上发现前面所说的4.33×1019种组合含有极大的水分,他们中有很多其实是完全相同的,只不过是从不同的角度去看而已。考虑了对称性,魔方的实际组合数马上减少到上述数字的1/96。这对魔方的研究提供了极大的帮助。

 

上帝数字

 

很显然,任意组合的魔方都可以在有限步骤内复原,那么,问题来了,是否存在复原任意组合魔方所需的最少转动次数N?也即,如果至多进行N次转动便可以将任意魔方复原,这个N具体为多少?这个数字N被成为上帝数字,从魔方刚刚流行的1982年便被提了出来。

 

寻找上帝数字最直接的办法是对魔方所有的组合情况,对其进行复原并得到所有的最少转动次数N,所有的N中最大的一个便是我们要寻找的上帝数字。但是,如前所述,即使考虑了对称性,魔方的组合情况依然是个天文数字,即使今天,利用世界排名第一的超级计算机,对其进行计算也不现实。

 

但这难不倒天才的数学家,上帝数字的值从1982年提出时估计的17~52之间,范围逐渐缩小,去年,一个研究团队在Google提供的计算资源支持下,最终证明上帝数字为20。也就是说,对任意的魔方,我们都可以用20次或者更少的转动将其还原。这听起来很不可思议,但已经被众多的魔方玩家所证实。

 

当然,对任意的魔方,寻找最少的转动步骤是极其困难的,需要针对每种情况寻找特定的步骤。一般的,还是利用本文前面所述的复原办法,只需学习记忆少量的套路或公式,如CFOP法,需要学习记忆119个公式,平均只需55次转动便可复原魔方。

 

后记

 

数学是一门充满魅力的学科,在它复杂表面的背后,隐藏着大量极其简单、漂亮的规律。有趣的游戏、手头的玩具,往往在简单中蕴藏着深刻的数学规律;而复杂的数学经常以极其简单、漂亮的形式展现。例如,请将1111111111、……的平方写下来,从最小的开始,每个占一行,并且全部居中书写,你会发现什么?多么神奇的三角形!
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主要参考资料:维基百科
另:卢昌海的魔方与 “上帝之数”

https://blog.sciencenet.cn/blog-576779-456080.html

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