“科普中的数学”是大项目

王永晖

“科普中的数学”在数学教育体系中，是个大项目。

现在数学教育界，尤其是中小学数学领域，有一个提法，“生活中的数学”，这个提法，是不太准确的。数学教育分为两个环节，概念引入阶段，日常训练阶段，生活中的数学，因为含水量高，是不太合适应用在日常训练阶段的，训练效率太低。

作为概念引入阶段，“生活中的数学”能够真正覆盖到的地方又比较低，构思者往往要捉襟见肘。更为正确的提法，在数学教育中，应该是“科普中的数学”。

这个面就广得多了！立得住！

“科普中的数学”跟数学的科普，还完全是两个意思。数学科普，是非常难做的，就我自己的品味和喜好来说，我还没见过特别好的数学科普作品，非常好的物理科普倒是有很多。并不是物理学家们的写作能力，比数学家们高，而是数学科普确实不好写，换谁来都不见得能弄好！

很多时候，看数学科普书，还不如看真正的数学教科书，反而能看的懂，或者到了研究生阶段，看一下行业顶级数学家们写的综述性介绍性文章。

科普中的数学，则跟数学的科普，方向是不一样的，是允许使用数学公式的，反而好把事情做下去。但是，其难度仍然很大，因为需要调动整个科学界的专家力量，各个科学技术专业的那些领域知识，数学家们肯定是不懂的，现在隔行如隔山，隔阂差距太大。

调动起整个科学界的力量参与数学教育，自然也是具有最重要的意义！数学教育，不光是数学家的数学教育--这也是中小学数学教育领域，流行的一句话。但是，他们主要指的是，数学家说的不算，甚至把数学家排除出数学教育的圈子，光是中小学数学老师说的算就行。

我们的意思则是指，数学教育，不光是数学家的教育，还得借助整个科学界的力量！

我们说句实在话，教育改革的大方向，倒底如何定位，实际上中小学老师们根本是没那个能力，没有那个学养，来进行设计的，顶层设计，只可能由学者来定，而且还不是普通的学者。整个大框架立起来之后，中小学教师在框架里面做一些细节的，甚至是关键性的工作，那是他们能力可及的。

年青的时候，看《爱因斯坦文集》，心潮澎湃，现在明白了，原来这就是最顶级的科学家的境界。很多人可能不知道的是，爱因斯坦，在教育方面也留下了很多文章，其中的理念，直到今日，也依然值得我们尊重、参考和遵循。

不仅仅是本文所说到的科普中的数学，现在本科生的数学，应该学到什么程度，就需要科学界的各专业科学家们，来参与定标，而不能光是传统老教材，老师只是把书教下来而已，至于将来在这个专业中有什么用，数学系老师自己也是不知道的。

我们没有必要让数学系的老师，一定要知道各个科学专业的领域知识，最好的办法还是，各个科学专业本身的科学家们，来制订出一个数学教学上的标准，来参与甚至是决策顶层设计，框架立起来之后，进一步细致的活儿，可由数学系教师们来完成。

同理，高考数学应该达到什么程度？也得是科学界来参与定的，因为这牵扯到大一新生，应该具有什么样的预备知识，才好进行大学数学学习的问题，属于以终为始，反推、倒推树立各教学阶段的标准。

我们利用这个项目，也就促进了科学界跟数学界的交往，在这个项目之外，自然也就可以做更多的事。

我们现在说回来“科普中的数学”，譬如我们可以有个子项目，科普中的小学数学应用题。现在IT界有种说法，年薪30万以下的程序员，顶多只会用到初中数学，所编算法内容，只要超过初中高中数学的程序员，年薪必然远远高于前者。

这也就说明，初中级别，乃至小学级别的“科普中的数学”，实际上是大量存在的。只不过目前是因为行业隔阂，搞数学的人，搞数学教育的人不懂，而真正懂的人呢，一是，因为没有机制可以进入数学教育这个圈子，二是，不知道怎样将行业内的数学，科普化，数学教育化。

所以，这是一个多领域协作的问题。我招数学教育研究生的时候，一开学就会告知他们这三年可做的研究项目，但有两个项目，我不敢让他们尝试，一个是平面几何，能做这个的学生，一般都具有科研博士生的潜质，往往不会落在数学教育专业，因为他们会觉得里面的创造性比较低。

另一个项目，就是这个“科普中的数学”，因为这需要联系广泛的各行业专家，也是普通的硕士研究生，能力达不到的，没有那个召集能力。

普通的数学家，单个的数学家，也没有那个召集能力。有位知名数学家，国际知名的那种，曾经在访谈文章中抱怨过，他曾经想请一些各领域的大科学家，面向数学界写些科普文章，结果此事没成，其中有些科学家，甚至认为科普文章太简单，写了会被人看不起，认为这位知名数学家看不起他。当然，也很有可能的是，也许是这位国际知名数学家多心了，疑心重了而已。

实际上，真正好的科普，譬如现在流传很广的“费曼教学法”，强调深入浅出，要能用通俗的话，就把高深公式背后的意思讲出来。真正能够做到的学者，也必然是那种大科学家级别的，普通的学者，拘泥于细节，还真不一定能够达到这种境界。

“科普中的数学”很难做，因为需要克服上述诸多隔阂与困难。做好了之后，则有大用处，除了借此项目的推力，促进科学界跟数学界融合，帮助数学教育界，形成各阶段的数学学习标准之外，还有另外一个大用处，是真正增强学生们的学习动力。

数学的天资，或者说数学的能力，分为三点：提出问题的能力居前属于第一环节，解决问题的能力居后属于第三环节，中间环节则是，能够评估出某个数学问题的重要性，并坚持在评估所选问题上的坚持力。

那么，我们怎么知道一个数学问题，重要不重要呢？一个来源是数学本身内在的美，以及数学界本身的进步，那些著名难题，著名数学猜想，因为数代的大数学家们，不断地持续攻击，重要性不断的上升。

另外一个来源，则起始于科学界的推动，科学问题的推动。譬如，现在很多中学生在尝试学习微积分，甚至数学系的数学分析，有些初中生就开始在读了。但就我们所见，就目前的最高阶的招生数据显示，初中生能够读懂数学分析的，看来全中国也没有几人，毕竟这个超前学习，超的跨度有点儿太大了。

我自己的小教室里面，也有个女孩学数学分析。因为她通过网络结缘的一位数学小天才，靠这个考进了清华大学丘成桐项目，所以，她也就好奇，想读读这本书，看看有多难。

我既没有劝她不读，也没有给她读书建议，反正由着她先试试呗，我知道她的能力在哪个地方，所以做出了这种决定。当时，她是初二，也确实能读上一百多页，我抽查了一下，也确实读懂了，完全自学的，没人教她。

但是，还有后续。她读了一阵儿后，可能一方面也不见得真正感兴趣，一方面，初中课业也比较重，她也尚未养成，拿着数学书当小说来读的生活习惯，所以也就放下了。我等她放下将近一年之后，也就是她初三下学期的时候，我就拿数学分析的一些基本概念性题目、定理，来问她，结果一问三不知，完全忘掉了。

之所以忘，不光是智力记忆力和数学天资的问题。如果我给中学生读微积分的建议的话，我会建议他们，一定要结合物理学书籍来读，如果没有物理书，那么想读懂微积分或数学分析的难度就会增大很多，因为太抽象了。微积分，本来就是为了解决物理学的问题，才发明出来的。

这方面还是得找合适的英文教材。因为国内的中学物理教材，是不涉及微积分的。大学教材呢，又往往会假设学生已经学会了微积分。要找到那种物理教材，包含了微积分，在教物理的同时也教微积分的那种。

数学的特点是抽象和严谨性。譬如大学的线性代数这门课程，中国的数学系为了跟理工科区别，又换了个名字叫做高等代数，在国外则名称是一致的，都叫线性代数。

数学系的线性代数，是这么写的，它往往都是这个套路，这个套路在线性空间概念，在正定二次型--内积概念中，屡次出现。先是有个具体例子，如R^n，n维坐标空间，中学生很容易理解，然后抽象化，抽象出几条性质，满足这些基本性质的抽象空间，就叫做线性空间。

但是，这个套路的故事还没完，线性代数这个学科很成熟，也很有力量，所以，这个套路在线性代数学科，会屡屡出现，这个套路的下半段是，抽象化之后的概念，譬如线性空间，又在数学上被证明，本质上跟原来的具体例子，R^n，是完全一样的。本质上完全一样，在数学上有个专业术语，叫做“同构”。

那么，数学系的线性代数，就是要花巨大的时间力量，去做这些证明。可是，对于理工科的学生来说，反正数学家已经证明了，具体的例子，跟抽象的概念，本质上是完全一样的，那其实就直接把具体的例子，集中精力研究清楚就行了，很多数学系的证明，理工科其实不必特别在意，反正是对的，当做已知应用就可以了，至少是在初学的时候。

不过，类似这样写法的线性代数教科书，还是很少。因为教科书一般都是数学家写的，而各专业真正用到线性代数的科学家们，反倒不怎么写适用于该专业的大一线性代数教材。

这种情况，可能会逐渐改变。譬如，因为线性代数是人工智能牵扯到的数学的重要一环，现在有一些新书，讲的就是人工智能中用到的线性代数。

教材是硬货。科普，相对来说就更普及一些，不过，教材中的序言和介绍性部分，最好也还是按照科普级的写法来写，其实也不一定是作者不想这么写，而是不一定有这个能力。

科普读起来会容易很多，但写起来的时候，对作者的水平却要求很高。

科普中的数学，为什么会对学生的学习动力，有巨大推动能力呢？让我们看另外一篇文章，借其来会意

----- 案例调查:一个女生是怎样被妈妈养成孔武有力的苗条身材的 --------

我妈妈的理论就是：小时候把胃撑开，以后会比没把胃撑开的孩子食欲好很多，消化能力也会强很多，这有利于今后的营养摄入与吸收。

幼儿园我不太记得了，从小学第一天开始，妈妈就要求每天早上，吃完家长自制的肉夹馍或是三明治，以及一些常见的传统主食和适量肉以后，必须喝一斤热牛奶，上学时还被要求带几盒牛奶和酸奶，放学前必须喝完。

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那么我就在想，什么是数学教育上的“把胃撑开”呢？什么是数学教育上的“牛奶”呢？

胃口的撑开，确实很有作用。因为这牵扯到心理学动力理论中的三层六大因素

选择权×试错权=挑战力

胜任感×饥饿感=坚持力

社交性×趣味性=玩耍力

会议讨论见于【腾讯文档】新式学校建构探讨在线会议

科普中的数学，无疑就能起到这个作用。数学毕竟还是太抽象了，生活中的数学这个提法，其实想的就是怎样降低这个抽象性，但是，这个提法有点儿太狭窄了，也缺少学术延展性。科普中的数学，提法上就要好很多了，希望这能够成为未来数学教育界的共识，不管是中小学数学教师们，还是大学数学教授学者们，能够认同其重要作用，从而未来建设成的数学教育网站平台，把它当做一件大项目来做！

借项目汇聚力量，形成良性循环！