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桃源忆故人·π

已有 4743 次阅读 2016-3-13 15:28 |个人分类:数学|系统分类:诗词雅集| 圆周率, 桃源忆故人

山巅一寺一壶酒,祖率承天不朽。

缀术割圆万绺,不见循环纽。


尺规难画方圆耦,只怪求根乌有。

弧度曲直不苟,格致经伦手。

 

 今天3月14日也叫$\pi$日。记得初一的时候老师教我们一个谐音口诀记住了前20位:山巅一寺一壶酒(3.14159),尔乐苦煞吾(26535),把酒吃(897),酒杀尔(932),杀不死(384),乐尔乐(626)。

  后来又有人把故事扩展到了100位:

 山巅一寺一壶酒(3.14159),尔乐苦煞吾(26535),把酒吃(897),酒杀尔(932),杀不死(384),乐尔乐(626),死煞杀不?(4338),杀儿弃沟(3279)![前30位]。

  接着,设想“死者”的父亲得知儿“死”后的心情: 

  “吾怜儿(502),爸爸死已够凄矣(8841971),留酒山沟沟(69399)。”[15位]

  再设想“死者”父亲到山沟里寻找儿子的情景: 

  “山拐我腰痛(37510),我怕你冻久(58209),凄事久思思(74944)。”[15位]

  然后,是父亲在山沟里把儿子找到,并把他救活,儿子迷途知返的情景: 

   “吾救儿(592),山洞拐(307),不宜留(816)。四邻乐(406),儿不乐(286),儿疼爸久久(20899)。爸乐儿不懂(86280)。‘三思吧(348)!’儿悟(25)。三思而依依(34211),妻等乐其久(70679)。”[最后40位]


  最早的圆周率是《周髀算经》里面的“周三径一,方五斜七”的记载,但这个周三径一的π要真造起宫殿来恐怕要冒随时倒塌的危险。所以必须要精确计算圆周率。公元263年,中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率,他先从圆内接正六边形,逐次分割为12、24、48、96、192边形。他说“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。”(分割愈精细,误差愈少。分割之后再分割,直到不能再分割为止,它就会与圆周完全重叠,就不会有误差了),其中有求极限的思想。刘徽给出$\pi$=3.141024的圆周率近似值。公元466年,中国数学家祖冲之利用“缀术”将圆周率算到小数点后6位的精确度,这一纪录在世界上保持了一千年之久。同时,祖冲之给出了(密率)这个很好的分数近似值,它是分母小于16604的分数中最接近$\pi$的,为纪念祖冲之对圆周率发展的贡献,日本数学家三上义夫将这一推算值命名为“祖冲之圆周率”,简称“祖率”。只是可惜“缀术”已经失传。

  $\pi$是个无理数,即不可表达成两个整数之比,是由Johann Heinrich Lambert于1761年证明的。 1882年,Ferdinand Lindemann更证明了$\pi$是超越数,即不可能是任何有理数多项式方程的根。圆周率的超越性否定了化圆为方这古老尺规作图问题的可能性,尺规作图的代数本质就是一系列有理数多项式方程,也就是说能在有限步骤内用尺规作出图的都是有理多项式方程的根,由$\pi$不是任何有理数多项式方程的根,且圆的面积$\pi$R2含有$\pi$,所以化圆为方是不可能用尺规实现。

  与圆有关的问题里都有它或许不奇怪,但在和圆关系不大的物理学领域,如广义相对论公式、量子力学公是也能寻觅它的身影。更神奇的是:1733 年,法国博物学家布丰(Comte de Buffon)提出了一个问题:在地板上画一系列间距为2厘米的平行线,然后把一根长度为1厘米的针扔在地板上。那么,这根针与地板上的线条相交的概率是多少呢?4年后,布丰自己解决了这个问题——这个概率值居然是 1/$\pi$!为什么会有这样奇怪的事情呢?

  原来角度可以用弧度来表示,圆周是360度,表示为2$\pi$,每一段弧都对应一个圆心角,这样一来,角度就可以表示为一个实数,于是衍生出了各种三角函数。无论数学还是物理,凡是涉及到“曲”的问题都离不开三角函数,所以很多看起来和圆没什么关系的东西都纷纷和$\pi$扯上了关系。含有$\pi$的物理公式很多,其原因是凡涉及“流”的东西例如力场、电磁场、流体等,都需要用泊松方程来描述,而泊松方程的解需要一个含有1/$\pi$的格林函数,所以解出的值不约而同地带有$\pi$!    

  要算出$\pi$值现在一般都是用无穷级数的方法,借助电子计算机,只要你愿意,你可以将圆周率精确到任意位小数点。一般工程或天文运算不需要成千上万位精确度的$\pi$,因为40位精确度的$\pi$已经足以计算误差小于一个质子大小的银河系圆周。现今精度高$\pi$应用于计算机软硬件的测试,以不同的算法计算$\pi$而结果误差大代表计算机系统可能出问题。  

  



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