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踏莎行·几何公设

已有 4750 次阅读 2015-3-2 10:14 |个人分类:数学|系统分类:科普集锦| 公设, 平行, 非欧

线任延绵,圆随径变,笔连两点皆一线。
垂直同角度量同,平行老死隔天堑。


公设天成,假说免验,几何欧氏根基建。
平行倘若喜相逢,逻辑无损非欧奠。


   我们中学时学的《平面几何》、《立体几何》属于欧几里得几何,研究的是空间形状的逻辑,里面的定理复杂,令人头晕目眩,其实这些繁杂的定理都来自欧几里得五条公设的推理,所谓的公设就是大家公认无需证明也不可能证明的“真理”。欧几里得的在《几何原本》提出了五条公设,头四条公设分别为:1.由任意一点到任意一点可作直线;2.一条有限直线可以继续延长;3.以任意点为心及任意的距离可以画圆;4.凡直角都相等。而第五条公设说:同一平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角的和小于两直角,则这两直线经无限延长后在这一侧相交。通俗地说就是平行线不相交。
  十九世纪二十年代,俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在怀疑第五公设,他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设,然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统,展开一系列的推理,得出了一个又一个在直觉上匪夷所思,但在逻辑上毫无矛盾的命题,并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何,简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。
  由于罗巴切夫斯基几何里平行线是会相交的,所以与我们的直觉一点都不相同,长期以来除了在逻辑上讲的通,没什么具体的应用。1868年,意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》,证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面(例如拟球曲面)上实现。这就是说,非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题,如果欧几里得几何没有矛盾,非欧几何也就自然没有矛盾。直到这时,长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究,罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美,他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。



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