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虞美人·费尔马大定理

已有 3908 次阅读 2014-12-19 11:16 |个人分类:数学|系统分类:科普集锦| 虞美人, 怀尔斯, 费尔马

勾三股四得弦五,

枚举无穷组。
幂增不见整边居,

费尔马猜缘木已无鱼。


自称巧证嫌书窄,

卅纪难题摆。*
赏金十万落谁家?

怀尔斯说除我已无他。



*古代一纪就是12年一个地支轮回,卅纪就是360年

  勾股弦定理,简称勾股定理,也叫毕达哥拉斯定理。汉朝的《周髀算经》中,记载了公元前11世纪商朝的商高,引述大禹发现了勾股定理的特例:“故折矩, 以为勾广三, 股修四, 弦隅五。……故禹之所以治天下者,此数之所生也。”勾股定理的形式可以用一个方程来表示X2+Y2=Z2,此方程有无数的整数解,比如周髀算经上的3平方+4平方=5平方,即9+16=25。如果方程等式不变,未知数的幂由2升到3、4、5、…………,这个方程还有整数解吗?
  1637年,法国业余大数学家费尔马(Pierre de Fremat)在《丢番图算术》一书关于勾股数问题的页边上,写下猜想:不定方程Xn+Yn=Zn是没有整数解(这里n大于2;X,Y,Z,n都是非零整数)。此猜想后来就称为费尔马大定理。费尔马还写道“我对此有绝妙的证明,但此页边太窄写不下”,但是近360年来,费尔马大定理高潮迭起,传奇不断。
  1753年, 欧拉第一个对此问题有所突破;他用费尔马在另一问题上的方法证明了n=4方程无自然数解,又进而巧妙地证明了n=3的情形,此时离费尔马提出这个猜想已经过去了100多年。19世纪初,法国传奇的女数学家索菲-杰曼花了几年时间研究了N等于一系列素数的情形,证明方程“几乎”无解。源于她的创新方法,狄立希来和勒让得在1823和1825年分别独立地证明了n=5的情形,1839年拉梅又证明了 n= 7的情形,n的接力在艰难地继续进行。当时一位德国数学家库默尔,他独辟蹊径,利用近世代数的方法,引入了自己发明的“理想数”和“分圆数”的概念,成批地证明了n在100以下都是正确的,并开辟了一门新的数学方法——理想数论,1857年他获得巴黎科学院的金质奖章。数学大鳄希尔伯特感叹道:费尔马大定理是一个会下蛋的金鸡。

   为了刺激费尔马大定理的研究,德国的沃尔夫斯克勒为费尔马大定理设悬赏10万马克,再引无数英雄竞折腰。电子计算机的出现再加上数学技巧,人们验证了400万以内的n,费尔马猜想都是正确的,但这对最终证明确是无济于事。1931年哥德尔提出了著名的不完备定理,即包含算术的数学体系必然有不能在此体系内证明的问题。一时间对费尔马猜想证明的悲观情绪云起,不少人都认为费尔马猜想的证明恰好是哥德尔的谶语。1950年代,日本两位数学家,将解析几何的椭圆方程和数论的不定方程判定这两个数学领域联结起来,提出了“谷山—志村猜想”,新的数学思想和方法为费尔马猜想的证明带来了曙光,谁将成为揭开天幕第一人呢?
  1963年,英国人安德鲁·怀尔斯10岁的时候,一本叙述数学问题的历史的书《大问题》吸引了他,这本书中讲述了费马大定理。怀尔斯说:“它看上去如此简单,但历史上所有的大数学家都未能解决它。这里正摆着一个我—一个10岁的孩子—能理解的问题,从那个时刻起,我知道我永远不会放弃它。我必须解决它。”1975年,怀尔斯开始了他在剑桥大学的研究椭圆曲线。1986年夏,瑞波特证明了:费尔马大定理包含在“谷山丰-志村五郎猜想”之中!怀尔斯得知后感到极大的震动,他觉得这是一个改变他生命历程的大事。他暗暗立志:“我必须做的一切就是证明谷山—志村猜想”。终于在1994年,挑战人类3个世纪,耗尽人类众多最杰出大脑的精力,也让千千万万业余者痴迷的费尔马猜想,终于被他攻克!他的证明过程综合了350多年的前人成果,论文达150多页。1997年6月,他在德国哥庭根大学领取了沃尔夫斯克尔奖。有趣的是,当年的十万马克约为两百万美金,但到了怀尔斯手中时,只值五万美金矣!
  当费尔马猜想升格为费尔马大定理尘埃落定的时候,似乎还有一个疑问:费尔马当初的“我对此有绝妙的证明,但此页边太窄写不下”的证明是否真的存在呢?

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