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解语花·第一次数学危机

已有 5173 次阅读 2014-10-21 17:07 |个人分类:科史|系统分类:科普集锦| 无理数, 有理数, 第一次数学危机, 解语花

盈虚有数,大象无形,冥冥谁人作?
爱琴海阔,毕达氏,欲把疑谜揭破。
假说欠妥,演绎判、是非对错。
守教条、整数天成,有理裁决握。

勾股各一弦惑,算尽分子母,通约未果。

权威失舵,羞矛盾、整数无从自若。
危机告落,无理数、添香粉墨。
喜数形、举案齐眉,连理同心锁。


  数学是一门研究“数”和“形”的严谨学科,但在数学史上,却贯穿着矛盾的斗争与解决。当矛盾激化到涉及整个数学的基础时,就会产生数学危机。而危机的解决,往往能给数学带来新的内容、新的发展,甚至引起革命性的变革。第一次数学危机发生在古希腊,约在公元前400年左右,到公元前370年左右,以无理数的定义出现为结束标志。这次危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派,同时标志着西方世界关于无理数的研究的开始。
  毕达哥拉斯学派兴旺的时期为公元前500年左右。他们认为,“万物皆数”(指整数和分数),数学的知识是可靠的、准确的,而且可以应用于现实的世界,数学的知识由于纯粹的思维而获得,不需要观察、直觉和日常经验。但是,大约在公元前5世纪,毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了:等腰直角三角形的直角边与其斜边不可通约。新发现的数由于和之前的所谓“合理存在的数”——即有理数在学派内部形成了对立,所以被称作了无理数。希帕索斯正是因为这一数学发现,被毕达哥拉斯学派的人投进了大海,处以“淹死”的惩罚。
  约在公元前370年,柏拉图的学生攸多克萨斯(Eudoxus,约公元前408—前355)解决了关于无理数的问题。他纯粹用公理化方法创立了新的比例理论,微妙地处理了可公度和不可公度。他处理不可公度的办法,被欧几里得《几何原本》第二卷(比例论)收录。第一次数学危机表明,几何学的某些真理与算术无关,几何量不能完全由整数及其比来表示。反之,数却可以由几何量表示出来。整数的尊祟地位受到挑战,古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是,几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。同时也反映出,直觉和经验不一定靠得住,而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发,经过演绎推理,并由此建立几何学体系,数形开始结合。这是数学思想上的一次革命,是第一次数学危机的自然产物。



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