博客乎?茶馆乎?分享 http://blog.sciencenet.cn/u/gfcao 累时休整,烦时发泄, 闲时思考,乐时分享。

博文

一次泛函分析课引发的思考 精选

已有 7781 次阅读 2022-3-2 15:04 |个人分类:教育改革|系统分类:教学心得

我上课的原则历来是尽可能引导学生学会“如何发现原理”,而不是直接告诉学生一个原理然后给出证明。在讲授泛函分析课程时发现学生对本应该在实变函数课程中学习的L^p空间理论感到很陌生。尽管课时非常紧张,但学习泛函分析不了解一些具体的空间与算子,如同给房子搭了个空架子,里面空无一物。

Lp中三角不等式的证明是极富技巧性的,需要利用Holder不等式证明三角不等式。如果我按部就班直接告诉学生Holder不等式,然后用它来证明三角不等式。课堂处理很容易,我也会省很多事。问题是,三角不等式是很自然的,只是证明有一定难度,但Holder不等式是怎么来的?这个问题可不是懂什么教育理论就能教明白的。

我首先从Cauchy不等式开始,说明它对于证明p=2时的三角不等式的重要性,然后对一般的p>1进行分析,关键是如何将两个函数的和|f+g|的p方积分用f和g的p方积分控制。这里p是一般的大于1的实数,试图展开是徒劳的,但既然p>1,可以分离出一个一次项,这样便可以得到f与g的因子:

|f+g|p=|f+g||f+g|p-1|f||f+g|p-1+|g||f+g|p-1

两边积分便得到了两个函数乘积|f||f+g|p-1及|f||f+g|p-1的积分,现在的问题是如何将因子|f|与|f+g|p-1分离,这就有点像Cauchy不等式了。不同的是,这里需要考虑一个问题:|f+g|p-1在什么空间中?因为|f+g|在Lp中,即|f+g|p可积,需要判断|f+g|p-1在什么样的空间Lq中,即如何确定q的值?因为是课堂上灵机一动做的事,在分析这个问题的过程中,稍微走了一点弯路。这个q值要保证|f+g|(p-1)q可积,显而易见应该有(p-1)q=p,因此q应该取值为:q=p/(p-1)。不难验证,这个q满足:1/p+1/q=1。接下来的问题自然是判断是否的确有想要的不等式,即如果f在Lp中,g在Lq中,|fg|的积分不大于f的Lp范数与g的Lq范数的乘积?这就是著名的Holder不等式。与过去大家习惯的教法不同,这里的重点在如何发现Holder不等式,然后才是如何证明的问题。

课后学生说:“老师,这节课好难啊!”的确,正如我开始便向大家说过的,泛函分析一旦回到具体的例子--“函数空间”,就会陷入很强的技巧与演算中。但我们应该善于通过这种技巧与演算发现新的东西,这才是研究型教学。真正的研究型教学并非师生如何你问我答的互动,学生如何自主学习,那都是站着说话不腰疼的胡扯。指望学生自己去发现Holder不等式或三角不等式的证明思路?纯属天方夜谭,即使对于牛逼学府的大多数学生而言也是难以企及的事。学生思维能力的培养绝不是学生依靠自己的独立思考、分组合作等方式完成的,而是要通过教师在不断的分析过程中引导学生发现新的现象、新的规律、新的技巧,学生紧紧跟着教师的思路去思考,在潜移默化中慢慢熏陶、锤炼,久而久之,逐渐内化成学生自己的思维能力。




https://blog.sciencenet.cn/blog-40247-1327712.html

上一篇:优秀学生需要优秀教师
下一篇:如果真的被裁了,你怎么办?
收藏 IP: 119.131.39.*| 热度|

27 卜令泽 白冰 吴云峰 胡大伟 杨正瓴 杜学领 王明 王善勇 戴新刚 郑永军 李毅伟 卫圆 周忠浩 武夷山 史晓雷 康建 郭战胜 刘新建 张江敏 黄永义 雷蕴奇 王安良 朱鸿源 胡泽春 罗春元 王中任 许培扬

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (35 个评论)

数据加载中...
扫一扫,分享此博文

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2022-9-30 13:18

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部