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世界名画中的数学27—几何i 精选

已有 12867 次阅读 2015-3-12 15:27 |个人分类:名画数学|系统分类:科普集锦| 埃舍尔, 螺线

埃舍尔还利用很多奇妙的数学曲线作画。欧拉螺线就是其中之一。

 

欧拉螺线(Euler spiral),也叫羊角螺线(Cornu spirals)和回旋曲线(clothoids)。这个螺线美丽而又非常实用。它被美国著名微分几何学家Alfred Gray称为“最优美的平面曲线之一”(one of the most elegant of all plane curves)。它广泛应用于衍射计算并且在铁路和高速公路工程的弯道技术中起重要作用。该曲线开始于原点,以零曲率零斜率向两边延伸,曲率随着其曲线的长度增长而增长,最后曲线收敛于两个镜像点或以这两个镜像点为圆心的圆。

欧拉螺线之所以以大数学家欧拉(Leonhard Euler1707-1783)的名字命名,并不是因为欧拉发现了这个螺线,而是因为欧拉彻底解决了这个螺线的数学问题。这个曲线最早在1694年由瑞士著名的贝努利数学家族的雅各布.贝努利(Jakob Bernoulli,也叫 James Bernoulli,1654-1705)从一个弹性力学问题提出,他写出了这个曲线的近似方程,但并没有解出来,也没有准确地画出来,甚至没有任何数值计算。也许他并没有把这个结果当回事,这个工作也没有发表。雅各布.贝努利生生死死都在和各种螺线较劲,他特别喜欢并深刻研究了笛卡尔发现的对数螺线,甚至要求将对数螺线刻到他的墓碑上,并附言“纵使改变,依然故我”(eadem mutata resurgo),尽管后来工匠悲剧性地误刻了阿基米德螺线(等速螺线,见下图下方)。


直到1744年,尼克拉斯I.伯努利(Nicholas I Bernoulli)将他大伯的工作整理后发表。同年,欧拉写出了曲线准确的方程,即这个曲线的参数形式是以菲涅耳(Fresnel)积分表达,欧拉还得到其展开式。


37年后的1781年,欧拉巧妙地利用积分变换,找到了曲线的极限点,即将相关的无穷菲涅耳积分的收敛点算出。不仅如此,如果用这个曲线的x y 的参数表达式分别作为一个复变函数的实部和虚部,还可以得到很多著名的函数。



这么有意思的数学曲线,埃舍尔当然不会放过,他将此赋以另一种人文哲学的含义。上图叫漩涡(Whirlpools1957)。两队红色和灰色的鱼沿着欧拉螺线相向而游,分别从欧拉螺线的一个极限点旋转游出,由小变大,进入另一个漩区后,再由大变小,旋转地游向另一个极限点。寓意着不同世界的人擦肩而行,方向却是相反,分别奔向另一方的出发点。这让我想起钱钟书“被围困的城堡,城外的人想冲进去,城里的人想逃出来”之名言。不过我更愿意把它理解成两种世界的循环轮回。当然两个世界也可以简单地穿插行进而过,一如鱼鸟在埃舍尔的另一幅画题很数学的画“两个相交的平面”(Two Intersecting Planes1952)中的行为。


 






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