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边界物理场测量与定解问题

已有 794 次阅读 2021-2-3 18:03 |个人分类:生活点滴|系统分类:科研笔记

 

       20世纪后半页,多数工程问题归结为定解问题:1)物体内部的关于物理场量的理论方程(微分运动方程);2)适当的边界条件(时间域空间域)(物理场量的边界值)。

       在这种数学物理模型建立以后,计算机的数值求解就成为工程学科取得进展的主流手段。

       乐观的观点是:只要理论方程是正确的,使用实测的边界条件(或者是合理的边界条件),肯定能得到物体内部的正确的合理的解。

       悲观的观点是:1)尽管理论方程是正确的,但是边界条件必须是适当的测量量,某些实测量是不能作为边界值量的,否则方程无解;2) 理论求解得到的物体内部的量和在物体内部的实测量间,误差是显著的。

       寻求出路就成为各学科必须面对的理论问题。

       这就出现了修订原有理论的观点:经典理论本身可能是存在不足的。典型的论点是,经典理论给出的运动方程是线性近似,从而需要建立精确的非线性运动方程。而非线性方程的典型形式就是用张量理论修订原有的经典理论。

       在这个大背景下,非线性理论的研究进入热门时代。大量的非线性运动方程被建立起来。但是,对于非线性方程的求解马上就碰到了非常严重的困难:解对于边界条件非常敏感,经常性的,解是不稳定的。

       这样,数学上,求非线性运动方程稳定解的相关计算方法研究也就热门起来。最为典型的例子就是:流体力学的非线性N-S方程,在给定边界条件下是否有解?如有,如何求解?这个问题的延伸就是:N-S方程是否正确?如不正确,如何证明它不正确?正确的方程为何?(20世纪湍流问题)。

       这个问题是极为典型性的。对于各学科,这个问题是普遍性的:A)作为本学科基础的经典线性理论的有效性是被普遍证明的,但是,它含有明显的理想近似。B)对于超出理想近似的问题,建立非线性的精确理论,但是未必能得到问题的解(或是有效解)。C)对于较为复杂的边界条件,作为定解问题的运动方程必须修订,而此类修订并不能在理论上给出严格的证明,从而有明显的局限性。

由于此类问题的客观存在,普遍有效的学科基础理论并没有进入精确性时代,依旧是停留在经典的理想线性理论之上。这就是人们感觉到的,半个多世纪以来,学科基础理论几乎没有取得显著进展。

然而,20世纪后半页的非线性研究给出了两个结论:1)由于几何边界条件(边界几何曲面)曲面化而导致的非线性;它表现为边界几何曲面决定了运动方程的普遍有效求解要求使用与边界曲面相应的曲线坐标系,从而,只能使用张量运动方程。这类非线性问题称为几何非线性问题。2)物理场的运动方程中的物性参数本身对于物理场具有依赖性,此类运动方程参数对于场量本身的依赖性而导致的非线性称为物理非线性。3)对于较为复杂的问题,这两类非线性是并存的,而且是耦合在一起的,具有相互作用的性质。

对于此类工程上有待解决的难题,各学科普遍性的束手无策。在这个背景下,实验研究再次的成为重要的研究手段。具体学科在近几十年的科学研究基本上是围绕此类问题而展开。随着此类研究的延伸,新的问题出现了:1)对于经典理论的有限否定出现了;2)对于实验结果的解释多样化,学科原有的理论体系面临挑战,而挑战性的研究结果(理论解释)还不足于形成严格的理论体系,学科基础理论面临分裂性。3)对于各类抽象的普遍性理论缺失信任感,也缺乏应用的热情。

从科学发展的历史进程看,解决各学科基础理论上的困惑成为当前的迫切问题:1)需要对于原有的理想近似理论进行修订,需要概括有关的实验和理论研究来建立普遍性的非线性理论;2)需要精确实验测量边界条件和物体内部的物理场量,检验非线性方程的有效性;3)需要基于理论研究和实验研究概括出普遍有效的定解问题提法和相应的求解方法。

       在这个观点下看,各学科实际上进入变革时代。

       抽象的看,这个变革的推动力是:1)数值求解暴露出了经典理论的不足;2)工程问题面对的复杂性要求新的理论体系的建立;3)许多实验观测现象还没有得到普遍有效的理论解释。



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2 尤明庆 籍利平

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