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[转载]关于素数分布问题的一点解读与思考

已有 860 次阅读 2022-11-18 11:25 |个人分类:数学爱好者|系统分类:论文交流|文章来源:转载

作者:丁鑫鹏

首先我们先介绍几个概念和猜想:

殆素数:是指素因子的个数(重素因子按重数计算)不超过某一固定常数的正整数;例如:6=2×3有两个素因子;8=2×2×2有三个素因子;素数显然只有它本身一个素因子.

孪生素数:是指相差为2的素数对;例如:35571113……

表姐妹素数:是指相差为4的素数对;例如:377111317……

性感素数:是指相差为6的素数对;例如:51111171723……

哥德巴赫猜想:任意一个充分大偶数,都可以表成两个素数的和.

孪生素数猜想:孪生素数有无穷多.

表姐妹素数猜想:表姐妹素数有无穷多.

性感素数猜想:性感素数有无穷多.

以上猜想由于强度太强,至今为止都没有得到证明,进而数学家们开始选择它们的弱形式进行证明,并一步步推进研究成果,使其强度逐渐接近原命题.

下面我们开始解读以上几个猜想:

1. 哥德巴赫猜想:引入了殆素数的概念,将哥德巴赫猜想减弱成:大偶数可以表成两个殆素数的和记为命题A;如果把命题A这两个殆素数的素因子个数推进到1,那么就证实了哥德巴赫猜想;至今为止,最好的结果是我国数学家陈景润证明的“1+2”,即大偶数可以表成一个素数和一个素因子个数不超过2的殆素数的和.

在这里我要澄清一件事,网上很多不懂数学的人,说数学家们或陈景润偷换概念,证明的是跟哥德巴赫猜想毫不相关的命题;这里我要说明的是,这个素因子不超过2的殆素数,是或的关系,强度是比较弱的,它既是素数的弱形式,也是素因子个数为2的殆素数的弱形式;所以“1+2”确实是“1+1”的弱形式,当然“1+2”也是命题B“一个大偶数可以表成一个素数和一个素因子个数为2的殆素数的和”的弱形式.

当然事实上,命题B和哥德巴赫猜想并不是强弱的关系,即它们不是充分必要的关系,虽有交集但并不包含.

2.孪生素数猜想:有无穷多间隔为2的素数对;将孪生素数猜想减弱成:“有无穷多间隔不超过某一固定常数的素数对”记为命题C.

如果把这个命题C中的常数推进到2,那么就证实了孪生素数猜想;

在这个问题上,美籍华人数学家张益唐首先做出了突破性的成果,将这一固定常数估到了7000万,虽然7000万这个数值相对2来讲,依旧很遥远,但这仅是量的差别,而从无穷到有穷,这是质的区别.随后数学家们一步步的缩小这个常数,至今为止,最好的结果是246,即:存在无穷多素数对(PP+k),其中k246.

一点思考:

最近偶然看到一个著名数学家陶哲轩的采访视频,视频中陶哲轩简单介绍了素数的相关问题,其中谈到这么一个问题:

他们已经证明,假设艾略特-哈伯斯塔姆猜想(简称EH猜想)成立,那么孪生素数、表姐妹素数和性感素数的集合是无限的;这就意味着,如果EH猜想成立,我们就可以把命题C中的这一常数推进到6,即存在无穷多素数对(PP+k),其中k6;记此命题为命题D.这一结果无疑是非常强的.

下面我简单谈一下我对此问题的一点新看法,不当之处,请批评指正.

1.首先对于命题D中的常数k是一个范围,是较弱的;显然k6k=246的弱形式.即命题D是孪生素数猜想、表姐妹素数猜想和性感素数猜想公共的弱形式;

当然事实上,这三个猜想彼此之间都不是强弱的关系,即它们彼此之间不是充分必要的关系,它们彼此之间虽有交集但彼此之间也并不包含.

2. 我注意到,运用我发现的新证明方法(我将此方法命名为保真法),可以将命题D加强;保真法是指:由几个前提条件(这几个前提条件中至少有一个为真,但不必确定哪一个为真),均可以推出某一个结论,则推出的这个结论必为真.

下面我们开始证明.

假设EH猜想成立,则孪生素数、表姐妹素数和性感素数的集合是无限的;

从而孪生素数对、表姐妹素数对和性感素数对之中至少有一个无穷多;

1°若孪生素数有无穷多,则存在无穷多素数对(PP+k),其中k6,且k为定值.

2°若表姐妹素数有无穷多,则存在无穷多素数对(PP+k),其中k6,且k为定值.

3°若性感素数有无穷多,则存在无穷多素数对(PP+k),其中k6,且k为定值.

综上,存在无穷多素数对(PP+k),其中k6,且k为定值;记为命题E.

显然,命题E的强度要强于命题D.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 




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