Received 12 June 2022; 

近期，中国科学技术大学邓友金课题组系统性地研究了几何表象下伊辛模型在高维空间里的性质。几何表象下，伊辛模型的研究对象是一系列的集团。描述集团性质的一个重要指数是分形维度。在无穷大晶格里，分形维度D_F是用来刻画集团大小和其半径之间关系的指数。如果模型定义在边长为L的晶格里，可以用分形维度D_L来刻画集团大小和L之间的关系。定义D_F1和D_F2来表示最大集团和次大集团在无穷大系统里的分形维度，用D_L1和D_L2来表示它们在边长为L的周期性晶格上的分形维度。该研究发现，在4维及以上 (d ≥ 4)，D_L1和D_L2的值分别是3d/4和1+d/2, 完全符合平均场理论的预测。这也验证了4维是一个上临界维度。对于D_F1和D_F2，在4维到6维之间也符合平均场的预测。但是，在6维以上，它们分别是9/2和4，已不再符合平均场理论的预测。这说明了6维是另外一个上临界维度。通过更深入的研究发现，在6维以上，几何表象下伊辛模型里除了最大集团以外，其他集团的性质和渝渗(percolation)模型一致。除了集团分形维度，其它很多物理量的行为同样证实了6维也是一个上临界维。

在伊辛模型公认的上临界维只有4维的背景下，该工作首次明确提出了伊辛模型在其几何表象下，同时存在两个上临界维度——4维和6维。这是一个极其不寻常的现象，引起人们对相变理论有新的和更深层次的理解。其次，在几何表象下，伊辛模型展现出了在自旋表象下未能观测到的复杂和新奇的现象，并存在一个自旋表象下没有的上临界维度——6维。因此该工作说明，在高维里，几何表象可能普遍存在更为复杂和丰富的现象。对于统计物理中的很多重要模型，场论都预测了一个上临界维，并且这些模型通常都有其对应的几何表象。所以，或许在几何表象下，这些重要模型都会拥有未知且更丰富的行为。