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归谬法证伪波利亚随机游走定理

已有 1738 次阅读 2022-11-17 08:13 |个人分类:随机过程|系统分类:科研笔记

归谬法是一种揭露、反驳或推翻谬误和错误判断的逻辑方法。归谬法首先假设被反驳的判断为真,然后通过正确的逻辑推理,推出一个与已知为真的科学事实或科学理论相悖的结论,从而否定假设,证明被反驳的判断为假,不能成立。

一、随机游走问题

皮尔逊Pearson是英国著名的数学家,概率统计中的标准差、相关系数和偏差等术语就是由皮尔逊首先提出的,因此皮尔逊也被誉为现代统计科学的创立者。

1905年,皮尔逊在《自然》杂志上公开求解随机游走问题(Random Walk Problem):如果一个醉汉走路时每步的方向和大小完全随机,经过一段时间之后,在什么地方找到他的可能性最大?

drunkard.png

1 醉汉随机游走

二、随机游走物理模型

假设质点在水平直线上每隔时间∆t随机移动单位距离2),每次移动前用抛硬币结果ΔX来决定质点移动的方向。

若抛硬币结果为正面向上,ΔX=1,质点向右移动一步;若抛硬币结果为反面向上,ΔX=-1,质点向左移动一步。

image.png

2 一维随机游走物理模型

自然科学、工程技术和社会科学中的许多重要随机现象(图3)均可用图2所示的随机游走物理模型进行描述,如布朗粒子随机运动、光纤陀螺随机游走和股票价格随机波动等。

图 规律.png

3 随机运动

三、随机游走数学定义

定义:ΔX1ΔX2……ΔXn独立同分布i.i.d.),PΔXi =1= PΔXi =-1=1/2S0=0则称

Sn=ΔX1+ΔX2+……+ΔXn

为从原点出发的简单对称随机游走。

显然Sn的物理意义为图2所示质点移动n步后距原点的距离

四、波利亚随机游走定理

美籍匈牙利数学家波利亚Polya20世纪最杰出的数学家之一为表彰波利亚对数学做出的突出贡献1963年美国数学会(MAA)授予他数学杰出贡献奖(Award for Distinguished Service to Mathematics)。为纪念波利亚美国工业与应用数学会在1969年专门设立了波利亚奖Polya Prize);美国数学会在1976年设立了波利亚奖Polya Award);伦敦数学会在1987年设立了波利亚奖Polya Prize)。他曾长期工作的斯坦福大学以他的名字命名了一座波利亚楼(Polya Hall),并在数学图书馆里悬挂了他的肖像,这是馆内唯一悬挂的科学家肖像。波利亚的怎样解题》、《数学的发现》和《数学与猜想等著作被译成多种文字,在全世界广为流传

波利亚最为引人注目的数学成就是他在1921年发表的一篇关于随机游走论文。波利亚从随机游走定义出发,证明了著名的随机游走定理:一维和二维随机游走是常返的

美国数学会(MAA)前主席、圣塔克拉拉大学Santa Clara University数学和计算机科学系主任亚历山大森(Alexanderson)主编的波利亚生平传记书名就为《波利亚的随机游走(The Random Walks of George Polya)》。

The Random Walks of George Polya.jpg

4 《波利亚的随机游走》

一维随机游走是常返的是指图2所示的质点从原点出发,当步数n充分大时,质点返回原点无穷多次的概率等于1也就是说,从原点出发的醉汉最终会返回原点

波利亚随机游走定理从理论上解决了皮尔逊1905年在《自然》杂志上提出的随机游走问题,日本著名数学家角谷静夫将波利亚随机游走定理形象地表述为:喝醉的酒鬼总能找到回家的路A drunk man will eventually find his way home),因此,波利亚随机游走定理也被称为酒鬼回家定理。

五、波利亚随机游走定理证伪

由随机游走定义,直接可得图2所示质点在第n步时的方差 

D(Sn)=n

表明n1时,D(Sn)0

但是根据波利亚随机游走定理n充分大时,质点会多次返回原点,也就是说,会多次出现质点位移Sn=0的情况,因此,质点返回原点Sn=0)时的方差为

D(Sn)=D(0)=0

显然与随机游走定义n1时,D(Sn)0矛盾从而证明波利亚随机游走定理为假不能成立

六、波利亚随机游走定理与高尔顿板试验结果不符

高尔顿板5是英国生物统计学家高尔顿Galton专门设计用来演示一维随机游走现象及规律的实验装置

Galton_Board .jpg

5 高尔顿板随机游走试验结果

高尔顿板上的每一个圆点表示钉在板上的一颗钉子,它们彼此的距离均相等,上一层的每一颗钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子正中间。

从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的小圆玻璃球,当小球向下降落过程中,碰到钉子后随机地向左或向右滚下,于是又碰到下一层钉子。如此继续下去,直到滚到底板的一个格子内为止。

小球在第n层时距高尔顿板中线的距离就是该小球在第n步时的位移Sn

如果高尔顿板面积足够大,小球在下落过程中将不断向左右两个方向移动,表明一维简单随机游走的小球(醉汉)随时间远离原点,波利亚随机游走定理与高尔顿板试验结果不符。


参考:

一图看懂波利亚随机游走定理证伪方法及过程

随机游走定义的概念错误及纠正(后印本),数学学习与研究. 2021,(28)




https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1364070.html

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